结论：工作了13个月未签劳动合同，用人单位需向您支付11个月的双倍工资作为赔偿。
法律依据与赔偿分析
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”这一条款明确规定了用人单位在未与劳动者签订书面劳动合同时应承担的法律责任。
赔偿计算方式：
- 支付期限：从您入职的第二个月开始计算，直至满一年，即共计11个月。首月为法律宽限期，不计算在内。
- 赔偿金额：按照您每月的实际工资计算这11个月的双倍工资差额。具体计算公式为：
$\( \text{双倍工资差额} = (\text{月工资总额} \times 11) - \text{已支付的工资总额} \)\(
*示例*：若您的月工资为5000元且已全额发放，则用人单位需补发 \)5000 \times 11 = 55,000$ 元。
维权途径与建议
协商：
- 首先，您可以尝试与用人单位沟通，指出其未签订劳动合同的违法行为，并要求按法律规定支付双倍工资。在协商过程中，保持冷静和理性，明确表达自己的诉求和依据。
投诉：
- 若协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行调查，并责令其改正。在投诉时，提供详细的证据材料，如工资条、工作记录等，以支持您的主张。
仲裁：
- 如投诉仍无法解决问题，您可以在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内，向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁委员会将依法审理案件，并作出裁决。在仲裁过程中，您需要准备充分的证据材料，并积极参与庭审活动。
诉讼：
- 对仲裁结果不满意时，您可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。法院将依法审理案件，并作出最终判决。在诉讼过程中，您可能需要聘请律师代理诉讼，以确保自己的权益得到充分保障。
证据保留：
- 在维权过程中，务必保留好相关证据，如工作记录、工资条、银行流水、工作证、考勤记录、同事证言等。这些证据对于证明您与用人单位的劳动关系及未签订劳动合同的事实至关重要。
注意事项
- 时效限制：双倍工资差额的仲裁时效从权利被侵害之日起计算一年，因此您需要及时主张自己的权益，避免超过时效期限。
- 无固定期限合同：工作满一年后，虽然自动转为无固定期限劳动合同，但这并不影响您此前双倍工资差额的追偿权。
综上所述，工作了13个月未签劳动合同，用人单位需向您支付11个月的双倍工资作为赔偿。您可以通过协商、投诉、仲裁和诉讼等途径维护自己的合法权益，并在维权过程中注意保留好相关证据。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。