结论：公司不给包工头签合同，责任归属需分情况讨论，主要取决于包工头与公司之间的法律关系以及未签合同的具体原因。以下从不同角度进行详细分析：
如果包工头与公司之间构成劳动关系：
- 法律责任：根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。若公司未与包工头签订书面劳动合同，则公司违反了法律规定，应当承担相应的法律责任。
- 具体后果：公司可能需要向包工头支付未签劳动合同期间的双倍工资差额，并补签书面劳动合同。若公司拒绝履行这些义务，包工头可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
如果包工头与公司之间构成承揽关系或劳务关系：
- 法律责任：在承揽关系或劳务关系中，双方通常不签订劳动合同，而是签订承揽合同或劳务合同。若公司未与包工头签订这类合同，但双方实际存在承揽或劳务关系，则责任归属需根据具体情况判断。
- 具体分析：
- 若因公司原因导致未签合同，且给包工头造成了损失，公司可能需要承担赔偿责任。
- 若因包工头自身原因（如拒绝签订合同）导致未签合同，则公司可能无需承担法律责任。但这种情况下，公司应保留相关证据，以证明未签合同的责任不在公司。
特殊情况下的责任归属：
- 若包工头实际为公司员工，但公司以包工头名义规避劳动关系：这种情况下，公司可能涉嫌违法用工，需要承担相应的法律责任。包工头可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，要求确认劳动关系并享受相应的劳动权益。
- 若双方对法律关系存在争议：在这种情况下，可能需要通过法律途径（如劳动仲裁或诉讼）来确定双方的法律关系以及责任归属。
建议与行动指南：
对于包工头：
- 首先明确自己与公司之间的法律关系，收集相关证据（如工作证、工资单、工作记录等）以证明自己的权益。
- 若公司未签合同且拒绝履行相关义务，可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
- 在处理过程中，注意保留所有相关证据，以便在需要时提供证明。
对于公司：
- 明确与包工头之间的法律关系，并根据法律规定签订相应的合同。
- 若因特殊原因无法签订合同，应与包工头协商并达成书面协议，明确双方的权利和义务。
- 在处理劳动纠纷时，积极配合相关部门的工作，提供必要的证据和资料。
可能涉及的法律条款：
- 《中华人民共和国劳动合同法》第十条：建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
- 《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
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