结论：仅因早上醒不来迟到被通报批评，一般情况下老板不会直接开除你，但具体还需结合公司规章制度、劳动合同以及迟到情节的严重性等因素综合判断。
从公司规章制度和劳动合同角度分析
公司规章制度：
- 大多数公司都会制定员工手册或规章制度，其中会明确规定员工的考勤要求以及迟到、旷工等行为的处理方式。
- 如果公司规章制度中仅规定迟到会受到通报批评等较轻的处罚，而没有规定迟到达到一定次数或情节严重可以开除，那么老板仅因你迟到一次就开除你，可能缺乏制度依据。
劳动合同：
- 劳动合同是员工与公司之间约定双方权利和义务的法律文件。
- 如果劳动合同中没有明确约定迟到可以成为解除劳动合同的理由，或者约定的解除条件较为苛刻（如多次迟到且情节严重），那么老板仅因你迟到一次就开除你，可能违反劳动合同的约定。
从迟到情节的严重性角度分析
迟到次数和频率：
- 如果你是偶尔迟到一次，且情节较轻（如因特殊原因迟到几分钟），那么老板通常不会因此开除你。
- 但如果你经常迟到，且迟到时间较长，严重影响了公司的正常工作秩序，那么老板可能会考虑解除劳动合同。
迟到造成的后果：
- 如果你的迟到没有给公司造成任何损失或影响，那么老板开除你的可能性较小。
- 但如果你的迟到导致了公司重要会议的延误、客户的不满等严重后果，那么老板可能会因此对你进行更严厉的处罚，甚至解除劳动合同。
法律建议
了解公司规章制度和劳动合同：
- 建议你仔细阅读公司员工手册或规章制度以及劳动合同，了解其中关于考勤和解除劳动合同的规定。
与老板沟通：
- 如果你担心被开除，可以主动与老板沟通，解释迟到的原因，并承诺今后会严格遵守公司规章制度和劳动合同的约定。
保留证据：
- 如果你认为老板的开除决定缺乏依据或违反了相关法律法规，建议你保留相关证据（如公司规章制度、劳动合同、迟到记录等），以便在必要时维护自己的合法权益。
寻求法律帮助：
- 如果你对公司的处理决定有异议，或者认为自己的合法权益受到了侵害，可以向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议和帮助。
总之，仅因早上醒不来迟到被通报批评，一般情况下老板不会直接开除你。但为了维护自己的合法权益，建议你了解公司规章制度和劳动合同的约定，并与老板进行积极沟通。如有需要，也可以随时向我咨询相关法律问题。