针对您第三次合同到期后公司既不续约也不解约的情况，您可以通过申请劳动仲裁来维护自身权益，核心在于收集充分证据证明公司行为违法并主张相应赔偿。以下是具体步骤和要点分析：

一、明确法律依据与仲裁请求方向

根据《劳动合同法》第14条、第44条、第46条及第87条：

1. 连续订立两次固定期限合同后，第三次合同到期时，若您提出续订无固定期限合同，公司应当续订；
2. 若公司拒绝续订，属于违法终止劳动合同，需支付赔偿金（标准为2倍经济补偿金，即工作年限×月工资×2）；
3. 若公司既不续订也不解约，可能构成事实劳动关系，您可主张未签合同期间的双倍工资差额（最多11个月）及继续履行合同或赔偿。

仲裁请求建议：

• 确认公司违法终止劳动合同；
• 要求支付赔偿金（或双倍工资差额）；
• 补缴社保、结清工资等（如有欠付）。

二、关键证据收集清单

需围绕“公司拒绝续约”或“未依法处理劳动关系”收集证据，包括但不限于：

1. 证明劳动关系存续的证据

• 劳动合同（前两次及第三次合同文本）；
• 工资流水（银行转账记录、工资条）；
• 社保缴纳记录（证明公司持续为您缴纳社保至合同到期后）；
• 工作证、考勤记录、工作邮件、微信聊天记录等（证明您仍在公司提供劳动）。

2. 证明公司拒绝续约的证据

• 公司书面通知（如《不续签劳动合同通知书》）；
• 录音、录像（如与公司协商续约时的对话，需明确公司拒绝续约的意思表示）；
• 微信、邮件沟通记录（如公司HR或领导明确表示“不续签”或“不处理”）；
• 证人证言（如同事目睹公司拒绝续约的场景）。

3. 证明公司未解约的证据

• 若公司未出具任何书面文件，需通过其他证据证明劳动关系未终止：
  • 持续发放工资的记录；
  • 继续安排工作的证据（如工作任务分配、会议记录）；
  • 公司未办理离职手续（如未退还工作证、未停止社保缴纳）。

三、仲裁申请流程

1. 准备材料：

   • 仲裁申请书（写明请求、事实与理由）；
   • 身份证复印件；
   • 证据清单及证据材料（一式两份）；
   • 公司工商登记信息（可通过国家企业信用信息公示系统查询）。

2. 提交申请：

   • 向公司所在地或劳动合同履行地的劳动争议仲裁委员会提交材料；
   • 仲裁委受理后，会安排调解或开庭审理。

3. 庭审要点：

   • 强调公司“既不续约也不解约”的违法性；
   • 围绕证据证明公司存在拒绝续约或未依法终止劳动关系的行为；
   • 主张赔偿金或双倍工资差额的计算依据（如工作年限、月工资标准）。

四、注意事项

1. 时效性：劳动仲裁时效为1年，自您知道或应当知道权益被侵害之日起计算（建议尽快申请）；
2. 证据完整性：尽量收集直接证据（如书面通知），若只有间接证据（如录音），需形成完整证据链；
3. 公司可能抗辩：公司可能主张“已口头通知续约但您拒绝”，需提前准备反驳证据（如您曾主动要求续约的记录）。

若您需要进一步帮助，如审核证据清单、起草仲裁申请书或模拟庭审答辩，可直接向我咨询，我会结合您的具体情况提供详细指导。