结论：老员工再签九年劳动合同，并不直接等同于签订的是无固定期限劳动合同。是否构成无固定期限劳动合同，需根据具体情况及《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定来判断。

分析：

1. 无固定期限劳动合同的定义：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，无固定期限劳动合同是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。这通常意味着，除非双方协商一致或存在法定解除情形，否则合同将持续有效，直至劳动者达到法定退休年龄或双方约定的其他终止条件出现。

2. 签订无固定期限劳动合同的情形：

   • 劳动者在该用人单位连续工作满十年的；
   • 用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；
   • 连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。
   • 特别说明：若用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。

3. 老员工再签九年劳动合同的情况：

   • 如果老员工已经在该用人单位连续工作满十年，并且双方协商一致再签九年合同，虽然合同期限明确为九年，但根据法律规定和双方意愿，也可以视为一种特殊形式的“长期”合同安排，不过这并不直接等同于法律上的无固定期限劳动合同。但在此情境下，若员工提出或双方同意，完全可以签订无固定期限劳动合同。
   • 如果老员工尚未在该用人单位连续工作满十年，或者虽然已满十年但双方选择签订固定期限为九年的合同，那么这份合同就是固定期限劳动合同，不是无固定期限劳动合同。

4. 法律建议：

   • 对于老员工而言，如果希望获得更稳定的职业保障，可以在符合法定条件时向用人单位提出签订无固定期限劳动合同的要求。
   • 对于用人单位而言，应依法与劳动者签订劳动合同，并在符合签订无固定期限劳动合同条件时，尊重劳动者的选择，共同协商确定合同类型。

总结与进一步思考： 老员工再签九年劳动合同是否构成无固定期限劳动合同，取决于多种因素，包括劳动者的工作年限、双方的协商意愿以及法律规定等。因此，在签订劳动合同时，双方应充分了解相关法律法规，明确合同类型及条款内容，以保障各自的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。