对于一周岁宝宝的唯一扶养人母亲被判刑的情况，确实存在特例可以申请监外执行。具体分析如下：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百六十五条的规定，对于被判处有期徒刑或者拘役的罪犯，如果符合特定条件，如“怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女”，可以暂予监外执行。这一规定体现了法律对哺乳期妇女的特殊保护，旨在保障婴儿的健康成长。

2. 申请条件：

   • 母亲必须是被判处有期徒刑或拘役的罪犯。
   • 母亲必须正在哺乳自己一周岁的婴儿。这是申请监外执行的关键条件，因为法律特别关注哺乳期婴儿的抚养问题。
   • 需要提供充分的证据证明母亲是婴儿的唯一扶养人，且监外执行不会对社会造成危险。这通常包括婴儿的出生证明、母亲的哺乳证明、家庭情况说明等材料。

3. 申请流程：

   • 罪犯或者其亲属、监护人可以向执行机关提出书面申请，说明申请监外执行的理由和条件。
   • 执行机关会进行审查，并可能要求提供进一步的证据或进行调查。
   • 如果执行机关认为符合监外执行的条件，会提出书面意见，报请上级机关批准。
   • 上级机关批准后，罪犯就可以在监外执行刑罚。

4. 注意事项：

   • 监外执行并不意味着罪犯完全自由，而是需要在社区矫正机构的监督下执行刑罚。
   • 如果罪犯在监外执行期间违反规定或者不再符合监外执行的条件，执行机关有权将其收监执行剩余的刑罚。
   • 对于一周岁宝宝的唯一扶养人母亲来说，即使获得监外执行，也需要积极履行抚养义务，确保婴儿的健康成长。

建议：如果您或您身边的人遇到类似情况，建议及时咨询专业律师或相关执行机关，了解具体的申请流程和所需材料，以便更好地维护自身权益和婴儿的健康成长。同时，也请积极履行抚养义务，为婴儿创造一个良好的成长环境。