结论：打工人一般不可以直接向劳动监察部门申请获取在公司签订的劳动合同，但可以通过其他合法途径获取劳动合同文本或证明劳动关系的相关材料。
分析说明：
劳动合同的获取途径：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同是劳动者与用人单位之间确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。劳动合同文本应当由用人单位和劳动者各执一份。因此，理论上，劳动者在签订劳动合同时就应当获得一份劳动合同文本。
- 如果劳动者未获得劳动合同文本，首先应当与用人单位协商，要求提供一份。这是最直接且通常最有效的途径。
劳动监察部门的职责：
- 劳动监察部门主要负责监督用人单位遵守劳动法律法规的情况，如是否按时支付工资、是否提供劳动保护等。
- 劳动监察部门并不直接保管或提供劳动合同文本。因此，劳动者不能直接向劳动监察部门申请获取劳动合同。
其他合法途径：
- 如果劳动者无法通过与用人单位协商获得劳动合同文本，可以考虑通过劳动争议仲裁或诉讼途径来证明劳动关系。在这些程序中，劳动者可以提供其他证据，如工资单、工作证、考勤记录等，来证明自己与用人单位之间存在劳动关系。
- 在某些情况下，劳动者也可以向当地劳动保障行政部门（如劳动监察大队）投诉，要求用人单位提供劳动合同文本或证明劳动关系。但这不是直接“申请”获取劳动合同，而是通过投诉促使用人单位履行其法定义务。
法律建议：
- 与用人单位协商：首先尝试与用人单位协商，要求提供劳动合同文本。这是最直接且成本最低的途径。
- 收集其他证据：如果无法获得劳动合同文本，积极收集其他能够证明劳动关系的证据，如工资单、工作证、考勤记录、同事证言等。
- 寻求法律援助：如果用人单位拒绝提供劳动合同文本且无法通过其他途径证明劳动关系，可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师，了解进一步的法律行动方案。
后续行动与法律后果：
- 如果劳动者能够成功获得劳动合同文本或证明劳动关系的相关材料，将有助于维护其合法权益，如要求用人单位支付未签订劳动合同的双倍工资、补缴社会保险等。
- 如果用人单位违反劳动法律法规，拒绝提供劳动合同文本或拒绝承认劳动关系，可能面临劳动监察部门的处罚或劳动争议仲裁/诉讼中的不利后果。