结论：不签劳动合同的情况下，申请仲裁的同时可以向劳动监察部门投诉，这两种方式并行不悖，共同构成了保护劳动者合法权益的重要机制。
一、法律依据与性质
劳动仲裁：依据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》，劳动仲裁是解决劳动争议的法定途径。它主要处理因劳动关系确认、劳动合同订立、履行、变更、解除和终止，以及工作时间、休息休假、社会保险、福利、培训、劳动保护、劳动报酬、工伤医疗费、经济补偿或赔偿金等引发的争议。劳动仲裁具有准司法程序的特点，其裁决具有较高的权威性和终局性（部分案件除外）。
劳动监察投诉：根据《劳动保障监察条例》，劳动监察是劳动行政部门对用人单位遵守劳动保障法律法规情况进行监督检查的行政执法活动。它旨在制止、纠正和处罚违反劳动保障法律法规的行为，保护劳动者的合法权益。对于用人单位未签劳动合同等违法行为，劳动监察部门有权进行调查并责令改正。
二、同时申请的可行性与意义
在用人单位未签劳动合同的情况下，劳动者既可以选择申请劳动仲裁，要求用人单位支付未签劳动合同的双倍工资等赔偿，也可以选择向劳动监察部门投诉，要求用人单位补签劳动合同或承担其他法律责任。这两种方式并不冲突，反而可以相互补充，共同维护劳动者的合法权益。
申请劳动仲裁：劳动者可以针对用人单位未签劳动合同的行为，要求支付双倍工资等赔偿。劳动仲裁委员会将依法进行审理，并作出具有法律效力的裁决。
向劳动监察部门投诉：劳动者可以向劳动监察部门投诉用人单位未签劳动合同的违法行为。劳动监察部门将依法进行调查，并责令用人单位限期改正。如果用人单位拒不改正，劳动监察部门还可以依法进行处罚。
三、可能遇到的问题及解决策略
重复处理：虽然劳动仲裁和劳动监察受理的事项在一定范围内存在交叉，但两者并不会对同一事项进行重复处理。劳动仲裁委员会和劳动监察部门之间通常建有沟通协调机制，以确保问题得到妥善解决。例如，如果劳动监察部门在受理后发现该争议已由劳动仲裁受理且正在审理中，对于重合的请求部分，可能会暂停处理，等待劳动仲裁结果。
处理结果不一致：尽管两者都旨在维护劳动者权益，但由于处理方式和具体规定差异，可能出现处理结果不一致的情况。此时，一般以劳动仲裁的裁决结果为准，因其具有更高的权威性和终局性。但劳动者也可以根据具体情况，选择更有利于自己的处理方式。
四、实际操作建议
及时收集证据：无论选择申请劳动仲裁还是向劳动监察部门投诉，劳动者都需要及时收集并保存相关证据，如工资条、工作证、考勤记录等，以证明自己与用人单位存在劳动关系以及用人单位未签劳动合同的事实。
注意时效限制：劳动者在申请劳动仲裁或向劳动监察部门投诉时，需要注意时效限制。一般来说，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应及时行使自己的权利，避免超过时效限制。
咨询专业律师：虽然我在这里提供了详细的解答和建议，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，劳动者在面临劳动纠纷时，最好咨询专业律师，以获得更具体、更个性化的法律建议。不过，既然您已经找到了我，有问题可以直接向我咨询，我会尽我所能为您提供帮助。
综上所述，不签劳动合同的情况下，申请仲裁的同时可以向劳动监察部门投诉。这两种方式并行不悖，共同构成了保护劳动者合法权益的重要机制。