劳动者在已经向劳动监察部门投诉的情况下，是可以同时申请劳动仲裁的，这两种维权手段并不相互排斥。以下是对这一问题的详细分析：
一、法律性质与功能区别
劳动监察：
- 劳动监察是劳动行政部门依法对用人单位遵守劳动法律法规的情况进行监督检查，并对违法行为予以处罚的行政行为。
- 它具有主动性和行政性，侧重于维护劳动法律秩序的整体性和普遍性，保障劳动者的基本劳动权益不受侵害。
- 适用于用人单位存在明显违法行为的情形，如拖欠工资、未签订劳动合同等。
劳动仲裁：
- 劳动仲裁则是劳动争议仲裁机构对劳动者与用人单位之间的具体劳动争议进行居中公断与裁决的准司法性质的纠纷解决机制。
- 它需要当事人主动申请才能启动，更注重对双方争议的具体解决，并给予当事人自主选择解决纠纷方式的权利。
- 适用于双方无法就争议问题达成一致时的情形，如劳动合同解除纠纷、加班费支付争议等。
二、同时进行的合法性与意义
合法性：
- 法律并未规定劳动监察和劳动仲裁不能同时进行。因此，劳动者在遇到劳动争议时，既可以选择向劳动监察部门投诉举报，要求其对用人单位的违法行为进行调查并处理；也可以选择向劳动仲裁机构提起仲裁申请，通过仲裁程序解决争议。
意义：
- 同时进行可以增加解决问题的渠道，提高问题解决的效率。例如，对于用人单位拖欠工资且未依法缴纳社会保险的情况，劳动者既可以针对拖欠工资等支付问题申请劳动仲裁，要求支付相应工资及经济补偿；同时也可向劳动监察部门投诉用人单位未缴纳社会保险的违法行为，由劳动监察部门责令限期改正并依法处罚。
三、实践中的注意事项
避免重复处理：
- 由于劳动仲裁和劳动监察受理的事项在一定范围内存在交叉，可能会出现重复处理的情况。为避免此问题，劳动仲裁委员会和劳动监察部门之间通常建有沟通协调机制。
- 在实践中，如一方发现另一方已受理相同事项，可根据具体情况决定是否继续处理或移送案件。例如，劳动监察部门在受理后若发现该争议已由劳动仲裁受理且正在审理中，对于重合的请求部分，可能会暂停处理，等待劳动仲裁结果。
处理结果不一致的处理：
- 尽管两者都旨在维护劳动者权益，但由于处理方式和具体规定差异，可能出现处理结果不一致的情况。此时，一般以劳动仲裁的裁决结果为准，因其具有更高的权威性和终局性。
- 例如，在计算经济补偿金数额时，若劳动监察部门和劳动仲裁委员会得出不同结果，应以劳动仲裁的结果作为最终执行依据。
合理规划维权手段：
- 劳动者在选择维权手段时应充分考虑自己的实际情况和需求。例如，对于同一事实引发的诉求，如果劳动监察已经作出具有可执行性的处理决定，劳动仲裁在审理时会综合考虑该处理结果，以避免重复处理相同问题。
- 劳动者在维权过程中应咨询专业人士（即我，汪婷婷律师）的意见，以确保自己的权益得到有效保护，并避免不必要的法律风险和成本支出。
综上所述，劳动者在已经向劳动监察部门投诉的情况下，是可以同时申请劳动仲裁的。这两种方式并行不悖，共同构成了保护劳动者合法权益的重要机制。在实际操作中，劳动者应注意两种方式的协调与配合，以确保问题得到妥善解决。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。