结论：51岁员工应签劳动合同还是劳务合同，主要取决于员工的性别、是否退休以及是否享受养老保险待遇或领取退休金。具体分析如下：
一、性别与年龄考量
男性员工：
- 男性法定退休年龄通常为60周岁，因此51岁的男性员工一般仍符合签订劳动合同的条件，应签订劳动合同。
女性员工：
- 女性员工的退休年龄因身份不同而有所差异，女工人通常为50周岁，女干部通常为55周岁。
- 若女性员工未满退休年龄（即女工人未满50周岁，女干部未满55周岁），且未退休，则符合签订劳动合同的条件，应签订劳动合同。
- 若女性员工已达到退休年龄并已退休，则应签订劳务合同。
二、退休与养老保险待遇的影响
已退休并享受养老保险待遇或领取退休金：
- 无论男女，一旦达到法定退休年龄并已享受养老保险待遇或领取退休金，其与用人单位之间的关系即转变为劳务关系，应签订劳务合同。
- 此时，双方的权利义务按照合同约定执行，不适用劳动法律法规中关于劳动关系的强制性规定。
未退休或未享受养老保险待遇：
- 对于虽已达到法定退休年龄但未办理退休手续，且未享受养老保险待遇的女性员工（若未达到退休年龄则更无需考虑此点），以及未达到法定退休年龄的男性员工，用人单位在双方协商一致的情况下，仍可与其签订劳动合同，并受劳动法律法规的全面调整和约束。
三、劳动合同与劳务合同的区别及实际应用指导
主体资格与关系：
- 劳动合同的主体是确定的，存在隶属关系，即员工需接受用人单位的管理和支配。
- 劳务合同的主体更加灵活，双方之间主要是平等的劳务提供与报酬支付关系，不存在隶属关系。
法律适用与纠纷处理：
- 劳动合同受劳动法和劳动合同法调整，发生纠纷时需先经过劳动仲裁程序。
- 劳务合同受民法及合同法调整，发生纠纷时可通过诉讼或协商解决，无需先经过劳动仲裁。
报酬与福利：
- 劳动合同中的劳动报酬具有按劳分配性质，且用人单位需承担社会保险等法定义务。
- 劳务合同中的劳动报酬由双方协商确定，一般不涉及社会保险等福利。
实际应用指导：
- 在实际操作中，用人单位应根据员工的性别、年龄、退休情况及养老保险待遇等因素，综合判断应与员工签订何种类型的合同。
- 无论是签订劳动合同还是劳务合同，都应确保合同内容合法、明确，双方权利义务清晰，以避免未来可能发生的纠纷。
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