结论：公司驾驶员在执行工作任务时发生交通事故并承担全责，单位在赔偿后，若驾驶员存在故意或重大过失，单位有权向其进行追偿。

详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条的规定，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。但用人单位在承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的工作人员追偿。这一条款明确了单位在特定情况下向驾驶员追偿的法律依据。

2. 追偿条件：

   • 驾驶员存在故意：即明知自己的行为会导致交通事故，却希望或放任结果发生。例如，驾驶员故意违反交通规则，如闯红灯、逆行等，导致事故发生。
   • 驾驶员存在重大过失：指驾驶员在履行职务时未能尽到正常驾驶员应有的谨慎注意义务。如严重超速、酒后驾车、疲劳驾驶等明显违反交通规则的行为，这些行为增加了事故发生的风险，且驾驶员应当预见并避免。

3. 追偿程序与实际操作：

   • 证据收集：单位需收集能证明驾驶员故意或重大过失的证据，包括交通事故责任认定书、现场勘查笔录、证人证言、监控录像及驾驶员的供述等。这些证据将作为单位向驾驶员追偿的依据。
   • 责任认定与追偿金额确定：公安机关交通管理部门会根据当事人的行为对事故的作用及过错程度划分责任。若驾驶员被认定为负全部或主要责任，并且存在故意或重大过失，单位有权追偿。追偿金额的确定应综合考虑事故损失大小、单位已承担的赔偿金额及驾驶员的过错程度等因素。
   • 协商或诉讼：单位可与驾驶员协商追偿事宜，尝试达成和解协议。若协商不成，单位可通过法律途径向人民法院提起诉讼，要求驾驶员承担相应的赔偿责任。

4. 特殊情况的追偿权：

   • 若驾驶员与单位之间形成的是个人之间的劳务关系（如临时工、兼职人员），根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十二条的规定，提供劳务一方因劳务造成他人损害的，由接受劳务一方承担侵权责任。同样地，若驾驶员存在故意或重大过失，接受劳务一方也有权追偿。

5. 追偿权的限制与注意事项：

   • 追偿权的行使并非无限制，单位应考虑驾驶员的经济能力、事故具体情况及单位内部管理规定等因素。在追偿过程中，单位应遵循公平、合理的原则，避免过度追偿给驾驶员造成过大的经济负担。
   • 单位应加强驾驶员的培训和管理，提高驾驶员的安全意识和驾驶技能，以减少交通事故的发生并降低自身的赔偿责任。

6. 不能追偿的情况：

   • 若交通事故是由于不可抗力、意外事件或其他不可预见、不可避免的原因造成的，且驾驶员不存在故意或重大过失，单位通常不能向驾驶员追偿。例如，因突发的自然灾害导致的道路损坏而引发的交通事故。

建议：

• 单位在发生交通事故后，应及时收集证据，明确驾驶员的责任和过错程度。
• 单位应与驾驶员进行充分沟通，尝试通过协商解决追偿事宜，以减少诉讼成本和时间。
• 若协商不成，单位应及时向人民法院提起诉讼，维护自身的合法权益。

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