结论：工厂是否有权因员工上班无事做玩手机而开除，需根据具体情况判断，包括公司规章制度、员工行为严重性及是否造成损失等因素。

分析如下：

1. 公司规章制度：

   • 如果工厂有明确的规章制度，且该制度中明确规定了上班期间玩手机属于严重违反公司纪律的行为，并可能因此导致解雇，那么工厂在遵循法定程序（如提前通知、听取员工申辩等）后，有权开除员工。
   • 反之，如果工厂没有此类明确规定，或者规定不够明确，那么工厂仅凭员工上班玩手机这一行为就开除员工，可能缺乏法律依据。

2. 员工行为的严重性：

   • 即使公司规章制度中有相关规定，也需要考虑员工行为的具体严重性。如果员工只是偶尔、短暂地玩手机，且未对工作造成实质性影响，那么工厂直接开除员工可能显得过于严厉。
   • 如果员工长时间玩手机，导致工作效率低下，甚至因此给工厂造成经济损失或安全隐患，那么工厂开除员工的行为可能更具合理性。

3. 法定程序与证据：

   • 工厂在开除员工前，必须遵循法定的程序，如提前通知员工、听取员工的申辩意见、进行调查取证等。如果工厂未遵循这些程序，那么其开除行为可能被视为违法。
   • 工厂还需要提供充分的证据来证明员工确实存在上班玩手机的行为，以及该行为对工厂造成了实质性影响。如果工厂无法提供这些证据，那么其开除行为也可能缺乏法律依据。

4. 劳动法保护：

   • 根据《中华人民共和国劳动法》的相关规定，员工享有劳动权益和就业权利，工厂不得随意开除员工。除非员工存在严重违反公司纪律或法律法规的行为，且工厂能够提供充分的证据来证明这一点。

建议：

• 对于员工而言，应遵守公司的规章制度，合理安排工作时间，避免在上班期间玩手机等影响工作效率的行为。如果确实需要处理个人事务，应提前向公司请假或寻求其他合理安排。
• 对于工厂而言，应制定明确的规章制度，并确保员工了解并遵守这些规定。在开除员工前，应遵循法定程序，提供充分的证据来证明员工的行为确实违反了公司纪律或法律法规，并因此给工厂造成了实质性影响。

后续行动：

• 如果您是员工，且认为工厂的开除行为缺乏法律依据或未遵循法定程序，您可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
• 如果您是工厂方，且希望开除因上班玩手机而严重影响工作效率的员工，建议您在开除前咨询专业律师，确保自己的行为符合法律法规和公司规章制度的要求。

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