核心结论：员工中午总迟到，而公司未设定惩罚制度也未警告，这种情况下公司一般不能合法开除员工。不过，具体还需根据实际情况和法律规定来综合判断。
法律分析：
公司规章制度的重要性：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位应当依法建立和完善劳动规章制度，保障劳动者享有劳动权利、履行劳动义务。这些规章制度应当经过民主程序制定，并向劳动者公示或告知。
- 如果公司没有设定关于迟到的惩罚制度，或者该制度没有向员工明确告知，那么公司依据未告知的制度来开除员工，可能缺乏合法性基础。
警告与开除的关系：
- 在劳动法律关系中，警告通常被视为一种较轻的纪律处分，而开除则是最严厉的处分。在开除员工之前，公司通常应当先给予警告或其他较轻的纪律处分，以给员工改正的机会。
- 如果公司从未对员工的迟到行为进行过警告或任何形式的纪律处分，直接开除员工可能构成违法解除劳动合同。
合法开除的情形：
- 根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。但这里的“严重违反”通常指的是违反了公司明确告知且合理的规章制度，并且情节严重。
- 如果员工的迟到行为虽然频繁，但并未达到严重违反公司规章制度（如果有的话）的程度，或者公司无法证明员工的迟到行为给公司造成了重大损失，那么公司开除员工可能缺乏合法性。
公司的举证责任：
- 在劳动争议中，用人单位通常承担举证责任。如果公司主张员工因迟到而严重违反规章制度，公司需要提供充分的证据来证明这一点，包括规章制度的内容、向员工告知的证据、员工迟到的具体记录等。
律师观点与建议：
- 对于公司：建议公司尽快建立和完善关于迟到的规章制度，并确保这些制度经过民主程序制定并向员工公示或告知。在处理员工迟到问题时，应当先给予警告或其他较轻的纪律处分，给员工改正的机会。如果员工仍然频繁迟到且情节严重，再考虑开除等更严厉的处分。
- 对于员工：如果员工因迟到问题面临被开除的风险，建议员工先了解公司的规章制度和自己的权利义务。如果认为公司的开除决定缺乏合法性基础，可以通过劳动仲裁等法律途径来维护自己的权益。
可能后果：
- 如果公司违法解除劳动合同，员工有权要求公司继续履行劳动合同或者支付赔偿金。赔偿金的计算通常根据员工在公司的工作年限和工资水平来确定。
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