结论：员工不遵守公司制度经常迟到早退，在符合特定条件的情况下，公司可以开除该员工。但这一结论并非绝对，需结合公司规章制度的合法性、合理性、公示情况以及员工违反规定的严重程度等多个因素来综合判断。
一、规章制度合法有效是前提
内容合法合理：
- 公司的规章制度必须严格遵守国家法律法规的强制性规定，不得包含任何违法内容，如体罚、罚款等。对于迟到早退的处理，也应遵循公平合理的原则，避免设定过于苛刻或不切实际的要求。
- 例如，若公司规章制度中规定“迟到一次即开除”，这样的规定可能因过于苛刻而被认定为不合理，从而在法律上不被支持。
制定程序民主：
- 规章制度的制定需经过职工代表大会或全体职工讨论，提出方案和意见，并与工会或职工代表进行平等协商确定。这一程序确保了规章制度的民主性和员工的参与度，增强了其合法性和有效性。
- 若规章制度未经民主程序制定，一旦发生劳动纠纷，该规章制度可能不被劳动仲裁机构或法院认可。
已向员工公示：
- 公司应通过适当方式，如组织员工培训、在公司公告栏张贴、在员工手册中明确写明并让员工签收等，确保员工充分知晓并理解规章制度的内容。这是规章制度能够作为辞退依据的重要前提。
- 若员工确实不知道有相关规章制度，公司在辞退员工时以该制度为依据，将难以得到法律支持。
二、员工严重违反规章制度可辞退
- 在规章制度合法有效的基础上，员工若严重违反这些规章制度，公司有权解除劳动合同。这里的“严重违反”需根据公司自身的规章制度、员工的行为性质、行为后果等因素来具体判定。
- 例如，公司明确规定“累计迟到早退超过一定次数（如10次）或连续迟到早退超过一定天数（如3天）属于严重违纪行为”，某员工经常迟到早退，且累计次数或连续天数超过了公司规定的标准，这种情况下公司辞退该员工通常是合法的，且无需支付经济补偿。
三、规章制度存在瑕疵时的处理
- 如果公司的规章制度存在内容违法或不合理、制定程序不合法、未公示或告知员工等问题，辞退员工可能会被认定为违法。
- 例如，若公司规章制度中含有对女职工孕期、产期、哺乳期的歧视性规定，这种违反法律特殊保护规定的内容是无效的。若依据此类规定辞退员工，公司将承担法律责任。
四、实际操作建议
完善规章制度：
- 公司应制定合法、合理、民主的规章制度，并明确规定迟到早退等违纪行为的处理方式和标准。
- 规章制度应经过职工代表大会或全体职工讨论，并与工会或职工代表进行平等协商确定，确保员工的参与度和知情权。
加强证据收集：
- 在处理员工迟到早退问题时，公司应收集充分的证据，如打卡记录、监控视频、员工书面承认材料等，以证明员工确实存在违纪行为。
遵循法定程序：
- 在辞退员工前，公司应遵循法定程序，如提前告知员工违纪事实、给予员工申辩机会、通知工会组织等，确保程序正义。
考虑特殊情况：
- 在处理员工迟到早退问题时，公司应考虑特殊情况，如突发疾病、交通事故、家庭紧急事务等，避免一刀切的处理方式。
总结：员工不遵守公司制度经常迟到早退，公司能否开除该员工需结合多个因素来综合判断。在实际操作中，建议公司完善规章制度、加强证据收集、遵循法定程序，并考虑特殊情况，以确保处理方式的合法性和合理性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。