结论：工伤劳动能力鉴定完成后，若劳动者因病去世，其家属或继承人仍可能享有相应的赔偿或待遇，但具体情形需根据去世原因、是否已享受工伤保险待遇等因素综合判断。以下从不同角度详细分析：
一、若去世原因与工伤无关
工伤保险待遇的继承：
- 若劳动者在工伤劳动能力鉴定完成后，因非工伤原因（如疾病、意外等）去世，其已享受的工伤保险待遇（如一次性伤残补助金、伤残津贴等）通常不会因去世而收回。这些待遇是劳动者因工伤而获得的补偿，属于其个人财产，可以依法继承。
- 法律依据：根据《工伤保险条例》及相关规定，工伤保险待遇是劳动者因工作遭受事故伤害或患职业病而获得的补偿，具有人身专属性，但一次性待遇（如一次性伤残补助金）在劳动者去世后，可由其继承人继承。
丧葬补助金和供养亲属抚恤金：
- 若劳动者去世时，其家属符合领取丧葬补助金和供养亲属抚恤金的条件（如劳动者因工伤导致死亡，或虽未直接因工伤死亡，但家属生活困难且符合供养条件），则家属有权申请这些待遇。
- 特殊情况：若劳动者已享受一次性工伤医疗补助金和伤残就业补助金（在解除或终止劳动关系时领取），则去世后通常不再享受丧葬补助金和供养亲属抚恤金，因为这些待遇已提前以一次性形式支付。
二、若去世原因与工伤有关（如工伤复发或并发症导致死亡）
工伤死亡待遇：
- 若劳动者因工伤复发或工伤导致的并发症去世，其家属有权享受工伤死亡待遇，包括丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金。
- 法律依据：根据《工伤保险条例》第三十九条，职工因工死亡，其近亲属可从工伤保险基金领取丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金。
待遇计算：
- 丧葬补助金：为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资。
- 供养亲属抚恤金：按照职工本人工资的一定比例发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属。标准为：配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或孤儿每人每月在上述标准的基础上增加10%。核定的各供养亲属的抚恤金之和不应高于因工死亡职工生前的工资。
- 一次性工亡补助金：标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
三、实际操作建议
- 及时申报：若劳动者去世与工伤有关，家属应尽快向当地社会保险行政部门申报工伤死亡待遇，并提供相关证明材料（如死亡证明、工伤认定书等）。
- 咨询专业机构：由于工伤保险待遇的申领涉及多个环节和复杂规定，建议家属咨询当地社会保险经办机构或专业律师，以确保权益得到充分保障。
- 保留证据：家属应妥善保管与劳动者工伤、去世相关的所有证据材料，以备不时之需。
总结：工伤劳动能力鉴定完成后，若劳动者因病去世，其家属或继承人是否享有赔偿或待遇，需根据去世原因、是否已享受工伤保险待遇等因素综合判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。