工伤认定书下来后，若职工因病死亡，其近亲属是否可获得赔偿需视具体情况而定。以下是对此问题的详细分析：

一、若死亡与工伤有直接因果关系

若职工因工伤导致的伤害与后续因病死亡之间存在直接的因果关系，例如工伤导致身体严重受损，进而引发并发症导致死亡，那么其近亲属有权获得相应的工伤赔偿。这些赔偿项目主要包括：

1. 丧葬补助金：按照6个月的统筹地区上年度职工月平均工资计算，用于处理职工的丧葬事宜。
2. 供养亲属抚恤金：按照职工本人工资的一定比例发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属。具体标准为配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或者孤儿每人每月在上述标准的基础上增加10%。各供养亲属的抚恤金之和不应高于因工死亡职工生前的工资。
3. 一次性工亡补助金：标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍，这是对因工死亡职工直系亲属的一次性经济补偿。

二、若死亡与工伤无直接因果关系

如果职工因病死亡与工伤之间没有直接的因果关系，那么其近亲属可能难以获得工伤方面的赔偿。但是，如果死者所在的单位购买了相关的商业保险，或者有内部抚恤政策，那么其近亲属可能根据这些政策获得一定的补偿或抚恤。

三、法律认定与证据收集

在处理此类案件时，需要进行详细的医学鉴定和法律认定，以确定死亡与工伤之间是否存在因果关系。家属应及时收集并保留相关证据，如工伤认定材料、医疗记录等，以便在维权过程中提供有力支持。

四、建议与行动

1. 及时咨询：家属在得知职工因病死亡后，应及时咨询专业律师，了解自身权益和可能的赔偿途径。
2. 收集证据：家属应尽快收集并整理相关证据，包括工伤认定书、医疗记录、死亡证明等，以便在后续的法律程序中提供证明。
3. 积极维权：在确认自身权益受到侵害后，家属应积极采取行动，通过法律途径维护自身合法权益。

总结来看，工伤认定书下来后，若职工因病死亡，其近亲属是否可获得赔偿需根据死亡与工伤之间的因果关系来判断。若存在直接因果关系，则有权获得相应的工伤赔偿；若不存在直接因果关系，则可能难以获得工伤赔偿，但可根据单位政策或商业保险获得一定补偿。家属在处理此类案件时，应及时咨询专业律师，收集并保留相关证据，积极维护自身合法权益。