教师发生工伤后，责任承担主体需根据教师的编制类型及学校是否购买工伤保险来综合判断。以下是对此问题的详细解析：

1. 用人单位（学校）的责任：

   • 及时救助与报告：无论公立还是私立学校，作为用人单位，在教师受伤后都有责任立即送往医疗机构救治，并及时向当地社会保险行政部门报告。
   • 工伤认定申请：学校应在事故伤害发生之日或被诊断为职业病之日起30日内，向社会保险行政部门提出工伤认定申请。若未按时申请，期间发生的工伤待遇费用将由学校承担。
   • 支付相关费用：在工伤认定和治疗期间，学校需支付教师的停工留薪期工资福利待遇，这一期限一般不超过12个月，特殊情况可延长但同样不超过12个月。

2. 不同编制类型教师的处理：

   • 公立学校在编教师：工伤费用通常由学校承担，并按照规定享受工伤待遇。这包括医疗费用、伤残补助金等，具体数额和支付方式依据相关法律法规和学校政策确定。
   • 私立学校或公立学校合同制、临时工教师：
     • 若学校购买了工伤保险，则工伤问题主要由工伤保险经办机构处理，教师可按规定享受工伤保险待遇。
     • 若学校未购买保险，则教师需与学校协商解决工伤赔偿事宜。在此情况下，教师有权要求学校承担相应的赔偿责任，包括医疗费用、误工费、伤残赔偿等。

3. 社会保险行政部门与工伤保险经办机构的角色：

   • 社会保险行政部门：负责受理并决定工伤认定申请，通常在60日内作出决定（对事实清楚、权利义务明确的申请可在15日内决定）。同时，该部门还负责监督管理用人单位和工伤保险经办机构的工作，确保工伤保险制度的正常运行和工伤职工的合法权益。
   • 工伤保险经办机构：对于已缴纳工伤保险费的教师，工伤保险经办机构会按规定支付工伤保险待遇，如医疗费用、伤残补助金等。此外，该机构还负责工伤保险基金的管理和运营，包括征缴保险费、审核与支付待遇等。

4. 劳动能力鉴定委员会的作用：

   • 教师工伤治疗稳定后，若存在残疾或影响劳动能力的情况，应向市级劳动能力鉴定委员会提出鉴定申请。鉴定结论是确定工伤待遇的重要依据，将直接影响教师的伤残赔偿等权益。

建议与总结：

• 教师在发生工伤后，应首先依靠学校进行及时救助和报告，并关注工伤认定的申请进程。
• 根据自身的编制类型和学校的保险情况，合理预期后续的工伤待遇支付和可能的协商过程。
• 在整个过程中，保持与学校的良好沟通至关重要。若遇到学校不配合或赔偿不合理的情况，教师可寻求法律支持以维护自身权益。

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