关于学校教师工伤的管理问题，这主要涉及到工伤认定的流程以及工伤保险责任的承担。以下是我为您详细梳理的解答：

首先，当学校教师发生工伤时，所在学校应当作为用人单位，在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区的社会保险行政部门提出工伤认定申请。这是根据《工伤认定办法》第四条的明确规定。如果学校未在规定时限内提出申请，受伤害的教师或者其近亲属、工会组织也可以在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，直接向社会保险行政部门提出工伤认定申请，这是依据《工伤认定办法》第五条。

其次，关于工伤认定的具体流程，社会保险行政部门在收到工伤认定申请后，会在15日内对申请人提交的材料进行审核。材料完整的，会作出受理或者不予受理的决定；材料不完整的，会以书面形式一次性告知申请人需要补正的全部材料。这是根据《工伤认定办法》第八条的规定。在受理申请后，社会保险行政部门可能会根据需要对申请人提供的证据进行调查核实，以确保工伤认定的准确性和公正性。

再者，关于工伤保险责任的承担，如果教师被认定为工伤，那么其治疗工伤所需的医疗费用、停工留薪期的工资福利、以及可能的伤残补助等，都将由工伤保险基金来支付。这是根据《工伤保险条例》的相关规定。同时，如果教师因工外出期间发生事故或者在抢险救灾中下落不明，也有相应的工伤保险待遇来保障其和其供养亲属的权益。

最后，需要强调的是，学校作为用人单位，有义务为教师缴纳工伤保险费，并在教师发生工伤时，积极协助其进行工伤认定和享受工伤保险待遇。如果学校拒不协助社会保险行政部门对事故伤害进行调查核实，或者未依法为教师缴纳工伤保险费，都将承担相应的法律责任。

综上所述，学校教师工伤的管理主要涉及到工伤认定的申请流程、社会保险行政部门的审核与调查核实、以及工伤保险责任的承担等方面。希望这个解答能够帮助您更好地理解学校教师工伤的管理问题。