结论：病假工资是否应由公司支付，取决于病假员工与第三方公司之间的劳动关系以及相关法律法规和公司规章制度的规定。在大多数情况下，如果病假员工与第三方公司存在劳动关系，那么公司应当支付病假工资。
分析说明
劳动关系确认：
- 首先，需要确认病假员工与第三方公司之间是否存在劳动关系。这通常通过劳动合同、工资支付记录、社保缴纳记录等证据来证明。
- 如果存在劳动关系，那么根据劳动法的相关规定，员工在病假期间享有获得病假工资的权利。
病假工资支付规定：
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》以及各地具体的实施细则，员工在医疗期内（即病假期间）享有病假工资或疾病救济费。
- 病假工资的具体数额通常根据员工的工龄、工资水平以及公司规章制度来确定，但不得低于当地最低工资标准的80%（具体比例可能因地区而异）。
公司规章制度与劳动合同：
- 除了法律法规的规定外，公司规章制度和劳动合同中也可能对病假工资的支付有具体规定。
- 如果公司规章制度或劳动合同中明确规定了病假工资的支付方式和标准，那么公司应当按照这些规定来支付。
特殊情况：
- 如果病假员工与第三方公司之间不存在劳动关系，而是劳务关系或其他关系，那么病假工资的支付可能不受劳动法的保护，而是根据双方之间的约定来确定。
- 另外，如果病假是由于员工自身的过错或违法行为导致的，公司可能有权拒绝支付病假工资或采取其他措施。
行动建议
核实劳动关系：
- 病假员工应首先核实自己与第三方公司之间的劳动关系，确保自己享有获得病假工资的权利。
了解公司规章制度和劳动合同：
- 病假员工应了解公司规章制度和劳动合同中关于病假工资支付的具体规定，以便在需要时维护自己的权益。
与公司沟通：
- 如果病假员工认为公司未按照规定支付病假工资，可以与公司进行沟通，要求公司按照法律法规和规章制度的规定支付病假工资。
寻求法律援助：
- 如果与公司沟通无果，病假员工可以寻求法律援助，通过法律途径维护自己的权益。
法律后果
- 如果公司未按照规定支付病假工资，病假员工有权向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁，要求公司支付拖欠的病假工资及可能的经济补偿。
- 在极端情况下，如果公司长期拖欠病假工资或拒绝支付，病假员工还可以考虑解除劳动合同并要求公司支付经济补偿金。
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