在民事再审遭驳回后申请抗诉时，对对方的称呼主要取决于对方的身份和诉讼地位。以下是从不同角度给出的详细解答：

1. 如果对方是原审的对方当事人：

   • 在申请抗诉的语境下，你通常不需要直接称呼原审的对方当事人。抗诉申请主要是向检察机关提出，请求其对已经生效的判决、裁定提出抗诉。因此，在撰写抗诉申请书时，你主要关注的是阐述再审被驳回的理由、原审判决的错误之处以及抗诉的法律依据等，而不需要特别指出或称呼原审的对方当事人。
   • 如果在抗诉申请过程中需要提及原审的对方当事人，可以统一使用“被申请人”或“原审被告/原告（根据其在原审中的身份）”等称呼，以保持正式和客观。

2. 如果对方是检察机关（在抗诉审查阶段可能涉及的“对方”）：

   • 在实际申请抗诉的过程中，你并不是直接与检察机关进行“对抗”或“辩论”，而是向检察机关提交抗诉申请书，由检察机关进行审查并决定是否提出抗诉。因此，在提交抗诉申请书时，你不需要对检察机关使用特定的称呼来指代“对方”。
   • 如果在抗诉审查过程中，检察机关要求你补充材料或进行询问，你应尊重检察机关的工作人员，可以使用“检察官”或“工作人员”等称呼来指代他们。

3. 一般性的建议：

   • 在整个申请抗诉的过程中，保持正式、客观和尊重的态度是非常重要的。无论是对原审的对方当事人还是对检察机关的工作人员，都应使用恰当、得体的称呼。
   • 避免使用过于情绪化或攻击性的语言，这有助于维护你的专业形象，并增加抗诉申请被接受的可能性。

额外提醒：

• 申请抗诉是一个复杂的法律程序，需要仔细准备抗诉申请书和相关证据材料。如果你对如何撰写抗诉申请书或准备相关证据材料有疑问，建议寻求专业法律帮助，以确保你的抗诉申请能够得到有效处理。
• 在整个过程中，保持与检察机关的沟通畅通，及时回应检察机关的要求和询问，也是非常重要的。

如果你在申请抗诉的过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供专业、全面的法律帮助。