结论：入职当天劳动合同和离职申请一起签的情况下，离职时是否需要再签离职合同，这主要取决于离职申请的性质、内容以及双方的实际约定。一般情况下，如果离职申请已经明确表达了离职的意愿、时间、原因等关键信息，并且得到了用人单位的确认，那么离职时可能不需要再签离职合同。但具体情况还需根据离职申请的具体内容和双方协商来确定。
分析说明：
离职申请的性质与内容：
- 离职申请是劳动者向用人单位提出解除劳动合同意愿的书面文件。如果离职申请中已经明确包含了离职的时间、原因、双方的权利义务等关键信息，并且这些信息得到了用人单位的认可，那么这份离职申请实际上就构成了一份具有法律效力的协议。
- 在这种情况下，离职时可能不需要再签订额外的离职合同，因为离职申请已经涵盖了离职的主要条款和条件。
双方的实际约定：
- 劳动合同和离职申请的签订都是双方协商一致的结果。如果双方在签订劳动合同时，就离职时的相关事宜（如离职手续、经济补偿等）已经达成了明确的约定，并且这些约定在离职申请中得到了体现，那么离职时按照这些约定执行即可，无需再签离职合同。
- 如果双方在离职时对于某些条款或条件有新的协商或变更，那么可能需要签订补充协议或新的离职合同来确认这些变更。
法律要求与合规性：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者与用人单位解除劳动合同应当遵循法定程序和条件。离职申请作为解除劳动合同的一种方式，应当符合法律的要求和规定。
- 如果离职申请的内容合法、合规，并且得到了用人单位的确认，那么这份离职申请就是有效的。离职时，双方应当按照离职申请中的约定来履行各自的义务。
特殊场景：
- 如果离职申请的内容存在模糊、不明确或遗漏关键信息的情况，或者双方在离职时对于某些条款或条件存在争议或分歧，那么可能需要通过签订离职合同来进一步明确和确认这些条款和条件。
- 另外，如果用人单位有特定的离职流程或要求（如需要填写离职审批表、办理离职交接手续等），那么劳动者在离职时也需要按照这些流程或要求来执行。
建议与行动：
- 对于劳动者来说，在签订离职申请时应当仔细阅读并理解其中的条款和条件，确保自己的权益得到保障。如果有任何疑问或不明确的地方，应当及时向用人单位咨询或寻求法律帮助。
- 对于用人单位来说，在收到劳动者的离职申请后应当及时进行审核和确认，并与劳动者就离职时的相关事宜进行协商和沟通。如果需要签订离职合同或补充协议来明确和确认某些条款和条件，那么应当及时与劳动者签订并确保合同的合法性和有效性。
后续思考依据：
- 在处理类似情况时，可以参考《中华人民共和国劳动合同法》中关于劳动合同解除和终止的相关规定以及当地劳动行政部门发布的关于离职手续和流程的指导性文件或政策。
- 同时，也可以借鉴类似案例的判决结果和司法实践来指导自己的行动和决策。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。