结论：在未与医院签订书面合同但实际存在承包关系的情况下，要起诉医院挽回损失，关键在于收集并整理能够证明承包关系存在的证据，明确损失的具体情况，并依据相关法律规定选择合适的诉讼策略。以下是从不同角度给出的详细分析和建议：
一、证明承包关系的存在
收集间接证据：
- 业务往来记录：如与医院之间的业务沟通记录、工作安排、任务分配等，这些可以间接证明你与医院之间存在承包或合作的关系。
- 财务记录：包括收入、支出、报销等财务凭证，这些能够反映你与医院之间的经济往来，是证明承包关系的重要证据。
- 证人证言：如果有其他员工或合作伙伴知晓你与医院之间的承包关系，他们的证言也可以作为证据。
考虑其他证明方式：
- 录音录像：如果与医院沟通时有录音或录像，且内容能够证明承包关系的存在，这也是有力的证据。
- 电子邮件或短信：与医院之间的电子邮件或短信交流，如果涉及承包关系的具体内容，也可以作为证据使用。
二、明确损失的具体情况
计算经济损失：
- 直接损失：如因医院违约或未履行承包合同义务而导致的直接经济损失，包括未支付的承包费用、因医院原因导致的额外支出等。
- 间接损失：如因医院违约而导致的预期利益损失，如原本可以获得的利润、业务机会等。
准备损失证明：
- 财务凭证：如发票、收据、银行转账记录等，用于证明经济损失的具体数额。
- 业务合同或协议：如果因医院违约而影响了与其他第三方的业务合同或协议，这些合同或协议也可以作为证明间接损失的证据。
三、选择合适的诉讼策略
确定诉讼请求：
- 根据损失的具体情况，确定诉讼请求的具体内容，如要求医院支付未支付的承包费用、赔偿经济损失等。
选择管辖法院：
- 根据《民事诉讼法》的相关规定，选择有管辖权的法院进行诉讼。一般来说，可以选择被告住所地或合同履行地的法院。
准备诉讼材料：
- 起诉状：详细陈述诉讼请求、事实和理由，并附上相关证据材料。
- 证据清单：列出所有提交的证据材料，并说明每份证据的证明目的。
- 其他材料：如身份证明、授权委托书等，根据法院要求准备。
四、法律风险提示
证据充分性：
- 在诉讼过程中，证据的充分性和证明力至关重要。如果证据不足或证明力不强，可能会导致诉讼请求得不到法院的支持。
诉讼时效：
- 根据《民法典》的相关规定，诉讼时效期间一般为三年。如果超过诉讼时效期间提起诉讼，可能会丧失胜诉权。因此，要及时行使诉讼权利，避免超过诉讼时效。
诉讼成本：
- 诉讼过程中会产生一定的诉讼成本，包括诉讼费、律师费等。在决定提起诉讼前，要充分考虑诉讼成本与预期收益之间的关系，做出合理的决策。
建议：在提起诉讼前，建议先与医院进行协商沟通，尝试通过和解或调解的方式解决纠纷。如果协商无果，再考虑通过法律途径解决。同时，在诉讼过程中要积极配合法院的工作，及时提交证据材料，参与庭审活动，以维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。