结论前置：根据您描述的情况，您有权要求用人单位支付第二个月（即超过一个月未签合同的部分）的双倍工资差额。以下是详细分析：
一、法律依据与核心条款
根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：
用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
关键点：
- 时间范围：从用工之日起超过一个月（即第二个月第一天）开始计算，至满一年或签订书面合同之日止。
- 双倍工资性质：实际为“工资差额补偿”，即用人单位需额外支付一倍工资，而非直接发放双倍月薪。
- 离职不影响主张：即使您未干满第二个月即离职，只要用人单位存在未签合同的违法行为，您仍有权追索。
二、您的具体情况分析
第一个月：
- 法律给予用人单位一个月的“宽限期”用于签订合同，此期间未签合同不构成违法，您无法主张双倍工资。
第二个月（未干满即离职）：
- 假设您第二个月工作了10天，则用人单位需支付这10天的双倍工资差额（即额外支付10天工资）。
- 计算方式：
- 日工资 = 月工资 ÷ 21.75天（法定月计薪天数）
- 双倍工资差额 = 日工资 × 实际工作天数（如10天）
- 示例：若您月工资为6000元，则日工资约为275.86元，10天的双倍工资差额为2758.6元。
三、操作建议与注意事项
收集证据：
- 保留工资流水、考勤记录、工作证、聊天记录等能证明劳动关系及工作时间的材料。
- 特别提醒：若无法提供工资流水，可尝试通过银行转账记录、同事证言等辅助证明。
协商与仲裁：
- 优先协商：向用人单位明确提出支付双倍工资差额的要求，并留存书面沟通记录（如邮件、短信）。
- 申请仲裁：若协商无果，需在离职后一年内向当地劳动争议仲裁委员会提交申请，逾期将丧失胜诉权。
特殊情形排除：
- 若未签合同是因您拒绝签订导致，且用人单位能证明已履行告知义务（如书面通知您签合同），则可能无需支付双倍工资。
- 若用人单位在第二个月内补签了合同，仍需支付从用工满一个月至补签日的双倍工资差额。
四、风险提示
- 时效风险：劳动争议仲裁时效为1年，从您知道权利被侵害之日（如离职日）起算，务必及时行动。
- 举证责任：您需初步证明劳动关系存在（如工资流水、考勤记录），若证据不足可能影响主张。
总结：您的情况符合《劳动合同法》第八十二条的适用条件，有权要求用人单位支付第二个月的部分双倍工资差额。建议尽快收集证据并与用人单位协商，若协商无果，及时申请劳动仲裁以维护权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询。