结论：员工退休后继续留下来上班并与公司签订合同，生病时公司是否可以辞退员工以及是否有赔偿，需分情况讨论。
若员工与公司的关系被认定为劳务关系：
- 辞退与赔偿：在此情况下，公司辞退员工通常不需要支付经济补偿金或赔偿金，因为劳务关系不受《劳动合同法》的保护。但是，如果双方在劳务合同中有特别约定，比如因病不能工作时的处理方式或赔偿条款，那么公司应按照合同约定来执行。
- 法律依据：劳务关系主要依据《民法典》等相关民事法律来调整，而非《劳动合同法》。因此，在处理此类纠纷时，应首先查看劳务合同中的相关条款。
若员工与公司的关系被认定为劳动关系（尽管员工已退休，但若满足一定条件，如未享受养老保险待遇或领取退休金，且继续为原单位工作，可能仍被视为劳动关系）：
- 辞退限制：根据《劳动合同法》的规定，员工在医疗期内，公司不得随意辞退员工。医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。
- 赔偿情况：
- 医疗期内辞退：如果公司在医疗期内辞退员工，属于违法解除劳动合同，需要支付赔偿金。赔偿金的标准通常是经济补偿金的两倍，经济补偿金则根据员工在公司的工作年限和月工资来计算。
- 医疗期满辞退：如果医疗期满后，员工不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作的，公司可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同。但此时公司仍需支付经济补偿金。
- 法律依据：主要依据《劳动合同法》第四十条、第四十二条、第四十六条、第四十七条以及第八十七条等相关规定。
建议：
- 对于员工而言，应明确自己与公司之间的关系性质，并仔细阅读与公司的合同条款，了解自己的权益和义务。
- 对于公司而言，在辞退员工前应仔细评估员工的实际情况和法律规定，避免违法辞退带来的法律风险和经济损失。
- 如果双方对此存在争议，建议通过协商、调解或诉讼等途径来解决纠纷。
进一步思考：在实际操作中，员工与公司之间的关系性质可能因具体情况而异，且可能涉及复杂的法律判断。因此，在处理此类纠纷时，建议咨询专业律师以获取更准确的法律意见和帮助。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律咨询，可以直接向我提问。