公司确实有义务出具工龄连续证明，但这一义务的履行通常与特定情境和法律规定相关联。以下是对此问题的详细分析：

1. 工龄连续证明的重要性：

   • 工龄连续证明是确认员工在某一公司或组织内连续工作年限的重要文件，对于员工享受带薪年休假、病假工资、疾病救济费、经济补偿金等权益具有至关重要的作用。
   • 例如，根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，病假工资的计发标准就与员工的连续工龄直接相关。连续工龄越长，病假工资的计发比例越高。

2. 公司出具工龄连续证明的义务来源：

   • 劳动合同法规定：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位应当建立职工名册备查，其中应包括劳动者的姓名、性别、公民身份号码、户籍地址及现住址、联系方式、用工形式、用工起始时间、劳动合同期限等内容。这间接要求公司记录并管理员工的工龄信息。
   • 员工请求权：当员工需要证明其连续工龄以享受相关权益时，公司有义务根据员工的请求出具相应的证明文件。这是公司作为用人单位应尽的协助义务。

3. 公司不出具工龄连续证明的法律后果：

   • 如果公司拒绝或无故拖延出具工龄连续证明，员工可以向劳动监察部门投诉，要求公司履行其义务。
   • 在某些情况下，如果公司的不作为导致员工无法享受应有的权益（如无法获得应有的病假工资或经济补偿金），员工还可以通过法律途径追究公司的责任，要求公司赔偿因此造成的损失。

4. 实际操作中的建议：

   • 员工方面：当需要公司出具工龄连续证明时，应明确向公司提出请求，并说明证明的用途和必要性。如果公司拒绝或拖延，可以保留相关证据（如书面请求、邮件往来等）以备后续维权之需。
   • 公司方面：应建立健全的员工档案管理系统，及时记录并更新员工的工龄信息。当员工提出出具工龄连续证明的请求时，应积极响应并尽快出具相关证明文件，以避免不必要的法律纠纷。

总结来说，公司有义务出具工龄连续证明，但这一义务的履行通常与员工的请求和特定情境相关联。如果公司拒绝或拖延出具证明文件，员工可以通过法律途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。