结论前置：公司不与农民工签订劳动合同是违法的，并会导致公司面临多重法律责任和经济风险。为确保双方权益，公司应尽快与农民工签订书面劳动合同。
法律分析
一、农民工的权益受损及法律保障
双倍工资请求权：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，若公司自用工之日起超过一个月但不满一年未与农民工订立书面劳动合同，农民工有权要求公司每月支付二倍工资作为赔偿。这一规定旨在保护劳动者的合法权益，确保劳动关系的明确化。例如，如果农民工在公司工作了6个月，但公司一直未与其签订劳动合同，那么农民工有权要求公司支付5个月的双倍工资（第一个月不计入）。
权益证明困难：
- 缺乏书面合同，农民工在主张加班工资、经济补偿等权益时可能面临证据不足的问题。书面合同是证明劳动关系、工作内容、工资待遇等关键信息的重要依据，没有合同将增加农民工的维权难度。
工伤认定与赔偿：
- 若发生工伤事故，没有劳动合同可能导致工伤认定和赔偿流程复杂化。根据相关规定，工伤认定需要证明劳动者与用人单位之间存在劳动关系，而书面合同是最直接的证据。没有合同，农民工可能需要通过其他途径证明劳动关系，如工资支付记录、工作证等，这将增加维权的复杂性和时间成本。
二、公司面临的法律责任与经济风险
支付双倍工资：
- 如前所述，公司需因未签订劳动合同而支付双倍工资，这将显著增加公司的用工成本。对于公司而言，这是一笔不小的经济负担，尤其是对于规模较大、用工较多的企业。
无固定期限劳动合同的自动成立：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条第三款，若公司自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，将视为已订立无固定期限劳动合同。这意味着公司将失去用工的灵活性，无法随意解除劳动合同，除非符合法律规定的解除条件。
行政处罚：
- 劳动保障行政部门有权对公司进行监察，对于不签订劳动合同的行为，可责令改正并处以行政处罚。行政处罚可能包括罚款、警告等，这将影响公司的声誉和形象。
经济补偿金风险：
- 若员工因公司未签订劳动合同而选择离职，公司可能需要支付经济补偿金。经济补偿金的计算通常与员工的工作年限和工资水平相关，这将进一步增加公司的经济负担。
三、解决途径与建议
协商解决：
- 农民工应首先尝试与公司协商，要求签订书面劳动合同并支付相应的赔偿。在协商过程中，农民工可以保留好相关证据，如工作记录、工资支付记录等，以备不时之需。
向劳动监察部门投诉：
- 若协商无果，农民工可向当地劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对公司进行调查，并责令其改正违法行为。如果公司拒不改正，劳动监察部门还可以对其进行行政处罚。
申请劳动仲裁：
- 农民工还可选择向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。劳动仲裁具有高效、快捷的特点，且仲裁结果具有法律效力。如果农民工对仲裁结果不服，还可以向人民法院提起诉讼。
提起诉讼：
- 对仲裁结果不服时，农民工可向人民法院提起诉讼。通过司法途径维护自己的合法权益是最后的手段，但也是最有效的手段之一。在诉讼过程中，农民工需要提供充分的证据来证明自己的主张。
公司应采取的措施：
- 为避免法律风险和经济损失，公司应尽快与农民工签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。这不仅有助于保障农民工的合法权益，也能为公司自身提供法律保护。同时，公司还应加强内部管理，确保用工行为的合法性和规范性。
综上所述，公司不与农民工签订劳动合同是违法的，并会带来一系列的法律问题和经济风险。因此，建议公司务必遵守相关法律法规，及时与农民工签订书面劳动合同，以确保双方的合法权益得到有效保障。如果您在劳动工伤或合同纠纷方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。