针对您提出的“非婚生子开唯一监护证明上写有父亲名字，但不是父亲怎么办”的问题，这确实是一个涉及亲子关系确认和法律权益保障的复杂情况。以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，如果出生证明或监护证明上错误地记载了父亲的名字，而实际上该男子并非孩子的生父，那么这份证明在法律上是不准确的，可能会对您和孩子的权益造成影响。
一、亲子关系确认的法律途径
提起亲子关系诉讼：
- 根据《民法典》第1073条的规定，对亲子关系有异议且有正当理由的，父或母可以向法院提起诉讼，请求确认或者否认亲子关系。
- 在您的情况下，如果孩子的生父不配合亲子鉴定或否认亲子关系，而您有证据（如出生时的医疗记录、证人证言等）表明该男子并非孩子的生父，您可以向法院提起诉讼，请求确认亲子关系不存在。
亲子鉴定：
- 亲子鉴定是确认亲子关系最直接、最有效的方法。
- 如果生父拒绝配合亲子鉴定，根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释(一)》第39条的规定，法院可以在您提供必要证据证明亲子关系不存在，而生父没有相反证据又拒绝做亲子鉴定的情况下，推定否认亲子关系的主张成立。
二、监护证明的更正
联系出具证明的机构：
- 一旦亲子关系得到法律确认（即确认该男子并非孩子的生父），您应立即联系出具唯一监护证明的机构（如医院、民政部门等），说明情况并提供相关法律文书（如法院判决书）。
申请更正证明：
- 根据法律文书的确认结果，申请更正监护证明上的父亲名字，确保证明上的信息与实际情况相符。
三、后续法律权益保障
抚养权与抚养费：
- 确认亲子关系不存在后，您作为孩子的母亲，将依法享有孩子的抚养权。
- 如果孩子的生父实际上存在（即非出生证明上错误记载的男子），且您希望其承担抚养义务，您可以根据法律规定向其主张抚养费。
孩子权益保护：
- 确保孩子的合法权益不受侵害，包括教育、医疗、生活等方面的权益。
- 如果孩子因出生证明或监护证明上的错误信息而受到任何歧视或不利影响，您应及时采取法律措施维护孩子的权益。
四、实际操作建议
收集证据：
- 收集所有能够证明亲子关系不存在的证据，如出生时的医疗记录、证人证言、亲子鉴定申请及拒绝配合的记录等。
咨询专业律师：
- 在提起诉讼或申请更正证明前，咨询专业律师以了解具体的法律程序和可能遇到的法律问题。
保持冷静与理性：
- 在处理此类复杂情况时，保持冷静与理性至关重要。避免采取过激行为或言语攻击，以免对孩子的心理造成不良影响。
综上所述，您可以通过提起亲子关系诉讼、申请亲子鉴定、联系出具证明的机构申请更正证明等法律途径来解决这个问题。同时，确保孩子的合法权益不受侵害，并在整个过程中保持冷静与理性。希望这些建议能对您有所帮助。