当员工与用人单位签订两次固定期限劳动合同后，若员工不选择续签，而用人单位也未提出续签或存在违法不续签的情况，我们需要根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定来详细分析并给出建议。
一、法律依据与员工权益
无固定期限劳动合同的订立：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等情形的，续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 这意味着，在符合上述条件下，如果员工希望继续工作，且没有提出订立固定期限劳动合同，用人单位应主动提出订立无固定期限劳动合同。
经济补偿金的支付：
- 如果用人单位不续签劳动合同，且不存在法定无需支付经济补偿金的情形（如用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订），根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条和第四十七条，用人单位需要向劳动者支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算标准为员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
二、处理方式与建议
与公司沟通协商：
- 首先，员工可以尝试与用人单位进行友好沟通，了解不续签的具体原因，并明确表达自己的意愿和权益。
- 如果员工希望继续工作，可以要求用人单位按照法律规定订立无固定期限劳动合同。
- 如果员工选择不续签，但用人单位存在违法不续签的情况（如未支付经济补偿金），员工可以要求用人单位支付相应的经济补偿。
要求支付经济补偿金：
- 如果用人单位坚持不续签，且员工符合支付经济补偿金的条件，员工有权要求用人单位按照法律规定支付经济补偿金。
- 员工可以准备好相关证据材料，如劳动合同、工资条、工作记录等，以证明自己的权益和用人单位的违法行为。
申请劳动仲裁或提起诉讼：
- 如果用人单位拒绝支付经济补偿金或拒绝订立无固定期限劳动合同，员工可以向当地劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁。
- 仲裁过程中，员工需要详细陈述事实和理由，并提供相关证据材料。
- 如果对仲裁结果不服，员工还可以向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
三、注意事项
保留证据：
- 在处理此类纠纷时，员工应注意保留相关证据材料，如劳动合同、工资条、工作记录、沟通记录等。
- 这些证据材料将有助于证明员工的权益和用人单位的违法行为，增加维权成功的几率。
及时维权：
- 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。
- 因此，员工应及时行使自己的权利，避免错过维权时机。
了解法律规定：
- 员工应充分了解自己的权益和法律规定，避免被用人单位的不当行为所侵害。
- 在维权过程中，员工可以咨询专业律师或劳动监察部门的意见，以更好地维护自己的合法权益。
综上所述，当员工与用人单位签订两次固定期限劳动合同后，若员工不选择续签或用人单位存在违法不续签的情况，员工应根据法律规定和自身情况采取相应的处理方式，并保留好相关证据材料，及时维权。