结论前置：检察机关不批准逮捕后，公安机关不能直接提起公诉。提起公诉的主体是人民检察院，公安机关主要负责侦查工作，并在侦查终结后将案件移送至人民检察院进行审查起诉。
一、检察机关不批准逮捕后的公安机关处理方式
释放或变更强制措施：
- 公安机关在接到检察院不批准逮捕的通知后，应立即释放被拘留的人，并将执行情况及时通知人民检察院。
- 若公安机关认为需要继续对犯罪嫌疑人进行控制，可以对其变更强制措施，如取保候审或监视居住。
补充侦查：
- 公安机关可以继续侦查，并在侦查过程中收集更多证据。
- 如果后续侦查取得了新的证据，且认为符合逮捕条件，公安机关可以再次提请检察院审查批准逮捕。
- 补充侦查完毕后，若认为犯罪事实清楚，证据确实、充分，达到移送起诉标准的，公安机关应将案件移送人民检察院审查起诉。
二、检察机关提起公诉的条件与可能性
公诉条件：
- 提起公诉必须满足犯罪事实已经查清，证据确实、充分的标准，且依法应当追究刑事责任。
不批捕后仍可能公诉的情况：
- 即使检察院决定不批准逮捕，如果公安机关在后续侦查中补充了足够的证据，证明犯罪嫌疑人有罪，检察院仍然可以提起公诉。
- 例如，案件初期可能存在关键证人未找到、物证尚未鉴定等情况。在不批捕后，若公安机关继续侦查并找到了关键证人、完成了物证鉴定等，从而补充完善了证据链，此时检察院就有可能基于新收集的证据提起公诉。
三、公安机关与检察机关的协作关系
- 公安机关不能越过检察院直接起诉。案件是否进入审判阶段，需经检察院审查后作出决定。
- 即使公安机关对检察院不批准逮捕的决定有异议，也只能通过复议或向上一级人民检察院提请复核的方式解决。
四、法律背景与意义
- 逮捕与公诉的独立性：逮捕只是一种刑事强制措施，并非提起公诉或判定有罪的必要条件。不批捕不代表犯罪嫌疑人无罪，也不意味着案件就此终结。
- 证据的持续收集与审查：在刑事诉讼过程中，证据的收集和审查是持续进行的。只要证据确凿、充分，且依法应当追究刑事责任，检察院就有权提起公诉。
- 法律的公正性与严谨性：这一流程体现了我国刑事司法体系的严谨性和公正性，确保了案件的合法处理。
五、对犯罪嫌疑人的建议
- 对于犯罪嫌疑人来说，无论是否被批捕，都应该积极配合调查，提供有利证据来维护自己的合法权益。
- 同时，也应该了解并尊重刑事诉讼程序的独立性，遵守相关法律法规，以确保案件的公正处理。
总结：检察机关不批准逮捕后，公安机关不能直接提起公诉，而需按照法定程序继续侦查或变更强制措施，并将案件移送人民检察院进行审查起诉。这一流程确保了刑事诉讼的公正性和严谨性。如果您或您身边的人遇到相关法律问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。