针对您提出的问题“公安机关刑拘后检察院不批准逮捕，后公安刑事拘留可以直接起诉吗”，我给出以下解答：

结论：公安机关在刑事拘留后，即使检察院不批准逮捕，也可以直接提起公诉，但前提是案件必须已经侦查终结，犯罪事实清楚，证据确实、充分。

分析说明：

1. 逮捕与起诉的关系：

   • 逮捕只是一种刑事强制措施，用于在侦查阶段防止犯罪嫌疑人逃避侦查、毁灭证据或继续犯罪。
   • 起诉则是检察机关根据侦查结果，认为犯罪嫌疑人有犯罪事实，需要追究刑事责任，而向人民法院提出正式指控的行为。
   • 因此，逮捕与起诉之间并没有必然的联系。不批准逮捕并不意味着不能起诉。

2. 提起公诉的条件：

   • 根据《刑事诉讼法》的相关规定，公安机关侦查终结的案件，应当做到犯罪事实清楚，证据确实、充分，并且写出起诉意见书，连同案卷材料、证据一并移送同级人民检察院审查决定。
   • 人民检察院在审查后，如果认为犯罪嫌疑人的犯罪事实已经查清，证据确实、充分，依法应当追究刑事责任的，就会作出起诉决定，向人民法院提起公诉。

3. 不批准逮捕后的处理：

   • 如果检察院不批准逮捕，公安机关应当立即释放被拘留的人，或者依法变更强制措施（如取保候审、监视居住等）。
   • 但这并不影响公安机关继续侦查案件，并在侦查终结后依法移送起诉。

综上所述，公安机关在刑事拘留后，即使检察院不批准逮捕，只要案件符合提起公诉的条件，仍然可以直接向人民法院提起公诉。如果您或您身边的人面临类似情况，建议尽快咨询专业律师以获取更具体的法律帮助。