核心前提：您与私人雇主建立了事实劳动关系，但未签订书面劳动合同、未缴纳社保，现被雇主单方面解除劳动关系。针对该情况，结合我国《劳动法》《劳动合同法》《社会保险法》及相关司法解释，现从法律角度为您分析如下：
1. 未签劳动合同的法律后果
根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月未与劳动者签订书面劳动合同的，应当支付双倍工资差额（最多11个月）。
- 关键点：需证明存在事实劳动关系（如工资转账记录、工作证、考勤记录、同事证言等）。
- 操作建议：立即收集上述证据，计算应得双倍工资差额（如工作6个月，可主张5个月工资补偿）。
2. 未缴纳社保的维权路径
根据《社会保险法》第58条、第63条，用人单位必须为劳动者缴纳社保，否则劳动者可：
- 向社保部门投诉：要求补缴社保（需提供劳动关系证明）；
- 以“未依法缴纳社保”为由解除劳动合同：根据《劳动合同法》第38条，可主张经济补偿金（工作满1年支付1个月工资）。
- 注意：若自行离职时未明确以该理由提出，可能影响补偿金主张。
3. 被违法解除劳动关系的赔偿
若雇主无合法理由（如严重违纪、经营困难等）单方面开除您，属于违法解除，根据《劳动合同法》第87条，可主张2倍经济补偿金（即“赔偿金”）。
- 计算方式：工作年限×月工资×2（如工作1年，赔偿2个月工资）。
- 例外：若雇主能证明您存在《劳动合同法》第39条情形（如严重失职、被追究刑事责任等），则无需支付赔偿。
4. 综合维权步骤建议
- 固定证据：收集工资记录、工作证明、沟通记录（如微信、录音）等；
- 协商解决：与雇主沟通补缴社保、支付补偿（可录音留证）；
- 投诉举报：向当地劳动监察大队投诉未签合同、未缴社保；
- 申请仲裁：若协商无果，1年内向劳动仲裁委提起仲裁（主张双倍工资、经济补偿/赔偿金、补缴社保等）。
5. 风险提示
- 若无法证明劳动关系，可能面临败诉风险（需重点收集证据）；
- 仲裁时效为1年，自被开除之日起计算，逾期将丧失胜诉权；
- 社保补缴需通过行政途径，仲裁委/法院一般不直接处理，但可确认劳动关系后由社保部门强制执行。
总结：您有权主张未签合同的双倍工资、违法解除的赔偿金，并要求补缴社保。建议优先通过协商或投诉解决，若无效则及时申请仲裁。如有具体证据或细节需要分析，可进一步向我说明，我会为您制定详细方案。