结论：医院不肯提供续签的合同，这确实是一个需要关注的问题。你可以通过与医院协商、向医院的管理部门或上级卫生行政部门投诉、寻求法律援助或提起诉讼等途径来维护自己的合法权益。
详细分析：
与医院协商：
- 首先，你可以尝试与医院的相关部门或负责人进行沟通，明确表达你的需求，即希望获取续签的合同。
- 在协商过程中，保持冷静和理性，说明合同对于你个人权益的重要性，以及医院有义务提供合同副本的法律依据（如《劳动合同法》等相关规定，虽然直接针对医疗行业的合同规定可能更为具体，但一般劳动合同法的原则同样适用）。
向医院的管理部门或上级卫生行政部门投诉：
- 如果协商无果，你可以考虑向医院的管理部门（如医务科、人事科等）或上级卫生行政部门进行投诉。
- 在投诉时，提供详细的情况说明和证据（如之前的合同、沟通记录等），以便相关部门能够了解问题的全貌并作出处理。
寻求法律援助：
- 如果上述途径均未能解决问题，你可以考虑寻求法律援助。
- 联系当地的法律援助机构或律师协会，咨询关于医疗合同纠纷的法律问题，并寻求专业的法律帮助。
- 法律援助机构或律师可以为你提供法律咨询、代理诉讼等服务，帮助你维护自己的合法权益。
提起诉讼：
- 在极端情况下，如果医院仍然拒绝提供合同，并且你认为自己的权益受到了严重侵害，你可以考虑向法院提起诉讼。
- 在提起诉讼前，确保你已经收集了足够的证据来支持你的主张，并咨询了专业律师的意见。
- 诉讼过程可能较为复杂和耗时，但它是维护自己权益的一种有效手段。
额外建议：
- 在处理此类问题时，保持冷静和理性至关重要。避免采取过激行为或言语攻击，以免加剧矛盾或影响自己的形象。
- 尽可能收集并保存所有与合同相关的证据和文件，如之前的合同、沟通记录、工作证明等。这些证据将在后续的处理过程中发挥重要作用。
- 如果你对法律程序不熟悉或感到困惑，不要犹豫寻求专业律师的帮助。律师可以为你提供专业的法律建议和指导，帮助你更好地应对问题。
可能涉及的法律后果：
- 如果医院确实存在违法行为（如拒绝提供合同、违反合同约定等），它可能面临法律制裁和赔偿责任。
- 作为员工或患者，你有权要求医院提供合同并履行其合同义务。如果医院未能做到这一点，你可能有权要求医院承担相应的法律责任。
最后，我希望你能够顺利解决这个问题。如果你有任何进一步的疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。