结论：医院合同5年到期后医院没续签，您可以从主张经济补偿、要求继续履行合同（在符合条件时）、准备维权材料这几个方面来处理，以下为您详细介绍：

主张经济补偿

1. 法律依据：根据《劳动合同法》第四十六条规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止固定期限劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。在您的情况中，医院没有续签合同，若不存在您不同意按原条件或更好条件续签的情形，医院应支付经济补偿。
2. 补偿标准：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。例如，您在医院工作了5年，月平均工资为5000元，那么医院应支付您5个月工资作为经济补偿，即25000元。
3. 操作方式：您可以先与医院进行友好协商，明确提出要求医院按照法律规定支付经济补偿。如果协商不成，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交劳动合同、工资支付记录、工作证明等相关证据，以证明您与医院存在劳动关系以及工作年限、工资标准等情况，要求医院支付经济补偿。

要求继续履行合同（在符合条件时）

1. 适用情况：如果您希望继续在医院工作，且医院没有合理的理由不续签合同，您可以要求医院继续履行原合同。例如，医院没有出现经营困难、业务调整等客观情况导致无法续签合同，而是无正当理由拒绝续签。
2. 操作方式：同样先尝试与医院沟通协商，表达您希望继续工作的意愿，并要求医院续签合同。如果医院拒绝，您可以收集相关证据，如医院不续签合同的通知、您与医院沟通的记录等，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，请求裁决医院继续履行劳动合同。

准备维权材料

无论您选择主张经济补偿还是要求继续履行合同，都需要准备充分的证据来支持您的诉求。以下是一些常见的维权材料：

1. 劳动合同：证明您与医院存在劳动关系以及合同期限等重要信息。
2. 工资支付记录：包括银行工资流水、工资条等，用于证明您的工资标准和收入情况。
3. 工作证明：如工作证、考勤记录、工作邮件、工作成果等，证明您在医院的工作时间和工作内容。
4. 医院不续签合同的通知：如果有书面通知，可以作为医院不续签合同的直接证据；如果没有书面通知，您可以通过与医院相关人员的沟通记录（如微信聊天记录、录音等）来证明医院不续签的事实。