结论：在此类情况下，即使孩子已经支付了医药费，对方家长仍有权要求进一步的赔偿，但具体是否需要赔偿及赔偿范围需根据实际情况判断。以下从多个角度进行分析：
一、法律责任角度
侵权责任：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在此案例中，如果您的孩子在学校将同学眼睛碰伤，且存在过错（如疏忽大意或故意），则您的孩子（或其监护人，即您）可能需要承担侵权责任。
赔偿范围：侵权责任通常包括赔偿因侵权行为造成的直接损失和间接损失。直接损失如医药费、护理费等已经支付的费用；间接损失则可能包括因伤害导致的误工费、交通费、营养费等，以及如果伤害构成伤残，还可能包括残疾赔偿金等。
二、实际情况角度
伤害程度：虽然去医院检查没什么大事，但对方家长可能认为孩子因此受到了惊吓或需要一段时间的恢复，从而要求额外的赔偿。这种情况下，赔偿的合理性需要依据伤害的具体情况和医疗机构的建议来判断。
协商与调解：在双方家长之间，可以尝试通过协商或调解来解决赔偿问题。如果双方能够达成一致，可以签订书面协议明确赔偿金额和方式，以避免后续纠纷。
三、建议与措施
了解对方诉求：首先，与对方家长沟通，了解他们要求赔偿的具体原因和金额，以便有针对性地进行回应。
评估赔偿合理性：根据伤害情况、医疗费用、对方家长的合理诉求等因素，评估对方要求的赔偿是否合理。如果认为对方要求过高或不合理，可以拒绝并说明理由。
寻求第三方协助：如果双方无法达成一致，可以考虑寻求学校、社区调解委员会或法律援助机构的协助，以促成双方和解。
法律途径：如果协商和调解均无法解决问题，对方家长可能会选择通过法律途径来维护自己的权益。在这种情况下，建议您咨询专业律师（即我，尹先锋律师，专注于合同纠纷、侵权纠纷领域），了解具体的法律程序和可能面临的法律责任，以便做好应对准备。
后续思考依据：在处理此类纠纷时，关键在于明确责任、评估损失并寻求合理的解决方案。通过了解相关法律法规和类似案例，您可以更好地判断对方要求的合理性，并采取相应的措施来维护自己和孩子的权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。