结论：在此种情况下，您可以通过与开车者协商、向保险公司主张权利（如有合理理由）、向法院起诉开车者这几种方式来追责，以挽回您的损失。下面为您详细分析：

1. 与开车者协商

   • 首先，您可以尝试与开车者进行友好协商。向其说明因为其未报保险的行为，导致您承担了本不应由您全部承担的赔偿责任，要求其分担相应的损失。在协商过程中，要注意保留好相关的沟通记录，比如聊天记录、通话录音等，这些证据可能在后续的纠纷解决中起到关键作用。
   • 例如，您可以明确告知开车者，根据双方的约定或者行业惯例，在发生事故时应及时报保险，其未履行该义务，违反了基本的诚信原则和双方之间的约定，应当对其过错行为负责，补偿您因此遭受的损失。

2. 向保险公司主张权利（如有合理理由）

   • 一般情况下，保险报案是开车者的义务，但如果存在一些特殊情况，您也可以尝试向保险公司说明情况，看是否能够获得一定的补救。比如，如果开车者未报保险是因为一些不可抗力因素，如突发疾病等导致无法及时报案，且您能够在合理时间内提供相关证明材料，保险公司可能会根据具体情况进行通融处理。
   • 不过，这种情况的成功率相对较低，因为保险合同通常有明确的报案时间限制等条款规定。但您仍然可以积极与保险公司沟通，阐述事情的来龙去脉，争取获得一定的支持。

3. 向法院起诉开车者

   • 如果协商无果，您可以考虑向法院提起诉讼。在起诉时，您需要准备充分的证据来证明开车者存在过错以及您因此遭受的损失。
   • 证据收集方面：
     • 事故责任认定书：这是证明事故发生以及责任划分的重要证据，能够明确开车者在事故中的责任比例。
     • 赔偿凭证：如您与受害方签订的赔偿协议、付款凭证等，证明您已经实际承担了全部赔偿责任。
     • 与开车者的沟通记录：如前文所述，用于证明您曾要求开车者报保险以及其未履行义务的情况。
     • 其他相关证据：如证人证言等，如果有目击者能够证明事故发生经过以及开车者未报保险的事实，其证言也可以作为证据使用。
   • 法律依据方面：
     • 如果您与开车者之间存在雇佣关系或者运输合同关系等，可以根据相关法律规定来主张权利。例如，在运输合同关系中，开车者有义务按照约定将货物安全运输到目的地，并在发生事故时及时采取合理措施，包括报保险等。其未履行该义务，导致您遭受损失的，应当承担赔偿责任。
     • 从侵权角度分析，开车者的未报保险行为可能构成对您的侵权，您有权要求其赔偿因此给您造成的损失，包括您已经支付给受害方的赔偿款以及因处理事故而产生的其他合理费用，如交通费、律师费等。

在处理此类纠纷时，情况可能会比较复杂，如果您在过程中遇到任何疑问或者需要进一步的帮助，都可以直接向我咨询，我会根据具体情况为您提供详细的法律建议和解决方案。