结论：政府公益性岗位人员重病无法继续工作且已过医疗期，解除劳动关系需遵循法定程序，并考虑支付经济补偿金等事宜。以下是具体分析：
一、解除劳动关系的法定程序
协商解除：
- 法律依据：根据《劳动合同法》第三十六条，用人单位与劳动者协商一致，可以解除劳动合同。
- 操作建议：在此情况下，用人单位应与劳动者进行充分沟通，说明情况，并尝试就解除劳动关系达成一致意见。若劳动者同意，双方可签订解除劳动合同的协议，明确解除时间、经济补偿等事项。
单方解除（需符合法定条件）：
- 法律依据：根据《劳动合同法》第四十条，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。
- 操作建议：
- 确认医疗期：首先，需确认劳动者的医疗期是否已满。医疗期的具体长度根据劳动者的工作年限和在本单位的工作年限确定，一般为三个月到二十四个月不等。
- 安排工作：医疗期满后，用人单位应尝试为劳动者安排其他适合的工作岗位。若劳动者无法从事原工作也无法从事另行安排的工作，用人单位方可考虑单方解除劳动合同。
- 通知与补偿：用人单位需提前三十日以书面形式通知劳动者本人，或者额外支付劳动者一个月工资后，方可解除劳动合同。同时，根据《劳动合同法》第四十六条，用人单位应向劳动者支付经济补偿金。
二、经济补偿金的计算与支付
计算依据：
- 法律依据：根据《劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资定义：月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
支付方式：
- 经济补偿金应在劳动合同解除时一次性支付给劳动者。若用人单位未按时支付，劳动者有权向劳动行政部门投诉或申请劳动仲裁。
三、特殊情况下的处理
劳动者不同意解除：
- 若劳动者不同意解除劳动关系，用人单位应继续履行劳动合同或寻求其他合法途径解决争议，如申请劳动仲裁等。
劳动者主张额外赔偿：
- 若劳动者认为用人单位解除劳动合同的行为违法，可能主张额外赔偿。此时，用人单位需准备相关证据证明解除行为的合法性，以应对可能的劳动仲裁或诉讼。
四、建议与注意事项
保留证据：
- 用人单位在解除劳动关系过程中，应保留好相关证据，如医疗期证明、工作安排通知、解除劳动合同协议等，以应对可能的争议。
遵守程序：
- 用人单位应严格遵守法定程序解除劳动关系，避免违法解除带来的法律风险。
咨询专业律师：
- 在处理此类复杂劳动纠纷时，建议用人单位咨询专业律师，以确保解除行为的合法性和经济补偿的合理性。不过，既然你已经在向我咨询，我会尽我所能为你提供专业的法律建议。
总结：政府公益性岗位人员重病无法继续工作且已过医疗期时，解除劳动关系需遵循法定程序，并考虑支付经济补偿金等事宜。用人单位应与劳动者充分沟通，尝试协商解除；若无法协商一致，则需符合单方解除的法定条件，并支付相应的经济补偿金。在处理过程中，用人单位应保留好相关证据，遵守法定程序，并咨询专业律师以确保合法合规。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。