结论：在交通事故中，即使车辆所属公司与驾驶员之间没有签订劳动合同，也有可能追究公司和车辆的责任，但具体能否追究以及追究的方式，需要根据事故的具体情况和相关法律规定来综合判断。
分析说明：
车辆责任：
- 无论车辆所属公司与驾驶员之间是否存在劳动合同关系，车辆本身在交通事故中若存在过错（如超速、闯红灯、未按规定让行等），车辆的责任是独立存在的。
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，车辆发生交通事故造成损害的，应依照道路交通安全法的有关规定承担赔偿责任。这意味着，车辆的责任不依赖于驾驶员与公司的劳动关系，而是基于车辆在事故中的行为。
公司责任：
- 如果车辆属于公司所有，且驾驶员在执行公司职务时发生交通事故，那么公司可能因驾驶员的职务行为而承担相应的赔偿责任。这通常基于《中华人民共和国民法典》中关于雇主责任或用人单位责任的规定。
- 即使没有劳动合同，但如果能证明驾驶员与公司之间存在事实上的劳动关系（如通过工资支付记录、工作安排、管理关系等证据），公司仍可能被认定为驾驶员的雇主，从而承担赔偿责任。
- 另外，如果公司对车辆的管理存在过错（如未按规定进行年检、未购买交强险等），也可能因此承担相应的责任。
驾驶员个人责任：
- 驾驶员作为交通事故的直接参与者，如果其存在过错（如酒驾、无证驾驶等），也应承担相应的个人责任。
- 驾驶员的责任不因其与公司之间是否存在劳动合同关系而免除。
特殊场景：
- 如果驾驶员是公司临时雇佣的，且双方未签订劳动合同，但存在事实上的雇佣关系，公司仍可能因驾驶员的职务行为而承担赔偿责任。
- 如果车辆是驾驶员个人所有，但挂靠在公司名下运营，且事故发生在运营过程中，公司和驾驶员可能根据挂靠协议或相关法律规定共同承担责任。
行动建议：
- 收集证据：首先，应收集与事故相关的所有证据，包括事故现场照片、交警出具的事故责任认定书、车辆行驶证、驾驶证、保险单等。
- 咨询专业律师：由于交通事故责任认定涉及复杂的法律问题和证据收集，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。律师可以根据事故的具体情况和相关法律规定，为你提供详细的责任分析和维权策略。
- 协商或诉讼：根据律师的建议，你可以选择与对方协商解决赔偿问题，或者通过法律途径提起诉讼来维护自己的合法权益。
在处理此类交通事故责任问题时，请务必保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。