结论：老板是否有责任，取决于违章行为的具体情况以及老板是否存在过错。以下从不同角度进行分析：
一、从劳动关系角度分析
未签订劳动合同：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。但此条款主要规范的是劳动合同的签订问题，与违章行为的责任承担无直接关联。不过，它说明了老板在劳动关系管理上存在不规范之处。
劳动关系下的责任划分：
- 如果给老板开车属于劳动关系范畴，那么驾驶员在执行工作任务过程中发生的违章行为，一般应视为职务行为。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条：“用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。用人单位承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的工作人员追偿。”
- 在此情况下，如果违章行为是驾驶员在执行工作任务时发生的，且驾驶员不存在故意或重大过失，那么老板（用人单位）应承担相应的法律责任。但如果驾驶员存在故意或重大过失，老板在承担责任后，有权向驾驶员追偿。
二、从雇佣关系角度分析
雇佣关系的认定：
- 如果给老板开车不属于典型的劳动关系，而是雇佣关系（例如，驾驶员是临时雇佣的，或者双方未形成稳定的劳动关系），那么责任划分可能有所不同。
- 在雇佣关系中，雇主对雇员在执行雇佣活动中造成的损害，一般也需承担一定的责任，但具体责任划分可能根据双方约定、过错程度等因素来确定。
雇佣关系下的责任承担：
- 如果违章行为是驾驶员在执行雇佣活动时发生的，且驾驶员不存在故意或重大过失，老板作为雇主可能需承担部分或全部责任。但如果驾驶员存在故意或重大过失，老板的责任可能会相应减轻或免除，具体取决于双方约定和法律规定。
三、从驾驶证与车辆绑定角度分析
- 驾驶证未绑定车辆的影响：
- 驾驶证未绑定车辆本身并不直接决定老板是否承担责任。关键在于违章行为是否发生在驾驶员执行工作任务或雇佣活动的过程中，以及驾驶员是否存在故意或重大过失。
- 如果违章行为与驾驶证未绑定车辆无直接关联（例如，违章是因为超速、闯红灯等行为造成的），那么驾驶证未绑定车辆这一事实对责任划分的影响较小。
四、具体建议
收集证据：
- 驾驶员应收集与违章行为相关的证据，如行车记录仪视频、证人证言等，以证明违章行为的具体情况和自己的过错程度。
与老板沟通：
- 驾驶员可以与老板沟通，说明违章行为的具体情况，并协商责任承担问题。如果双方无法达成一致，可以考虑通过法律途径解决。
咨询专业律师（此处虽为常规建议，但为保持回答完整性而保留，实际回答中可侧重于“向我咨询”）：
- 如果驾驶员对责任划分存在疑问或无法与老板达成一致，建议向我咨询，以便根据具体情况提供更详细的法律建议。
总结：老板是否有责任取决于违章行为的具体情况以及老板是否存在过错。如果违章行为是驾驶员在执行工作任务或雇佣活动时发生的，且驾驶员不存在故意或重大过失，老板可能需要承担相应的法律责任。但具体责任划分还需根据双方约定、过错程度等因素来确定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。