结论：合同到期单位不再续签但劳动者继续工作，并不直接等同于建立了无固定期限劳动合同关系。不过，在符合一定条件下，劳动者可以要求用人单位签订无固定期限劳动合同。以下是对此问题的详细分析：
一、合同到期未续签的法律后果
劳动关系存续：根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，劳动合同期满后，如果劳动者仍在原用人单位工作，且用人单位未提出异议，那么双方之间的劳动关系仍然存续。但这并不意味着自动转为无固定期限劳动合同。
事实劳动关系：在这种情况下，劳动者与用人单位之间形成的是事实劳动关系。事实劳动关系虽然受到法律保护，但与正式的书面劳动合同相比，劳动者在权益保障上可能面临一些不利因素，如工资、福利、社保等方面的权益可能无法得到充分保障。
二、无固定期限劳动合同的签订条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，劳动者在以下情形下，可以提出签订无固定期限劳动合同的要求：
连续工作满十年：劳动者在同一用人单位连续工作满十年。例如，从2013年1月1日起一直在某公司工作，到2023年1月1日以后劳动合同到期未续签又继续工作的情形。
特定改制情形下的工作年限与退休年龄：用人单位初次实行劳动合同制度或国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年。
连续订立二次固定期限劳动合同后无过错：劳动者与用人单位已连续订立两次固定期限劳动合同，且没有《劳动合同法》第三十九条（如试用期间被证明不符合录用条件的、严重违反用人单位的规章制度的等）和第四十条第一项、第二项（如患病或者非因工负伤在规定的医疗期满后不能从事原工作也不能从事由用人单位另行安排的工作、不能胜任工作经过培训或者调整工作岗位仍不能胜任工作）规定的情形，续订劳动合同时，劳动者可以提出签订无固定期限劳动合同的要求。
满一年未签订书面劳动合同：用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。
三、不续签合同继续工作的处理建议
及时沟通：劳动者在劳动合同期满前，应与用人单位就续签问题进行及时沟通，明确双方的意愿和期望。
要求签订书面合同：如果双方同意继续合作，应尽快签订书面的劳动合同，以明确双方的权利和义务。如果用人单位拒绝签订无固定期限劳动合同，而劳动者又符合签订条件，劳动者可以依法维护自己的权益，如向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
保留证据：在沟通过程中，劳动者应注意保留相关证据，如聊天记录、邮件往来等，以备不时之需。这些证据在后续维权过程中可能起到关键作用。
了解法律后果：如果用人单位违反法律规定，不与劳动者签订无固定期限劳动合同或侵害劳动者的合法权益，劳动者有权要求用人单位承担相应的法律责任，如支付双倍工资等。
举例说明：假设小张在某公司连续工作了八年，劳动合同到期后公司未提出续签，但小张继续在公司工作。此时，小张并不直接享有签订无固定期限劳动合同的权利。然而，如果小张在公司连续工作了十年（假设后续又工作了两年），且没有违反公司规章制度或不能胜任工作等情形，那么在小张提出续签要求时，公司应当与其签订无固定期限劳动合同。
后续建议：如果你或你身边的人遇到了类似的情况，建议首先与用人单位进行沟通，明确双方的意愿和期望。如果沟通无果，且符合签订无固定期限劳动合同的条件，可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的权益。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。