结论：孩子随母改嫁后，原亲生父亲坐牢的情况，一般不会直接影响孩子，但原亲生父亲的犯罪记录（案底）在特定情况下可能会被追诉审查或对孩子产生间接影响。以下从多个角度进行详细分析：

1. 案底的基本性质：

   • 案底，通常指的是个人的犯罪记录，这是由司法机关依法记录并保存的。一旦形成，除非依法定程序被撤销或封存，否则将长期存在。
   • 案底本身并不因个人的婚姻状况、家庭关系变化而自动消失或改变。因此，原亲生父亲的犯罪记录不会因为孩子随母改嫁而消除。

2. 对孩子的影响：

   • 直接法律影响：在一般情况下，原亲生父亲的犯罪记录不会直接对孩子产生法律上的不利影响。孩子不会因为父亲的犯罪记录而自动承担任何法律责任或受到法律制裁。
   • 间接社会影响：然而，父亲的犯罪记录可能在某些特定情况下对孩子产生间接影响。例如，在孩子申请某些特殊职业（如公务员、军人等）或需要政审的场合，父亲的犯罪记录可能会被作为考察因素之一。此外，在社会交往中，孩子也可能因为父亲的犯罪记录而面临一定的社会压力或歧视。

3. 追诉审查的可能性：

   • 一般情况：原亲生父亲的犯罪记录一旦形成，除非涉及新的犯罪或需要重新审判的情况，否则一般不会被追诉审查。孩子随母改嫁并不构成追诉审查原亲生父亲犯罪记录的理由。
   • 特殊情况：如果原亲生父亲在服刑期间或服刑后发现有新的犯罪行为，或者原判决存在错误需要重新审判，那么司法机关可能会对其犯罪记录进行追诉审查。但这种情况与孩子随母改嫁无关，而是基于新的犯罪事实或法律程序的需要。

4. 法律建议：

   • 如果您担心原亲生父亲的犯罪记录会对孩子产生不利影响，可以咨询专业律师了解具体的法律程序和应对措施。例如，在某些情况下，可以通过法律途径申请封存或撤销犯罪记录（如果符合法定条件）。
   • 同时，也可以关注孩子的心理健康和社会适应能力，帮助孩子正确面对和应对可能的社会压力和挑战。

总结与进一步思考：孩子随母改嫁后，原亲生父亲的犯罪记录一般不会直接影响孩子，但在特定情况下可能会产生间接影响。如果您有任何具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况和需求，提供专业、全面的法律服务。