结论：用人单位不能仅以心梗为由，在合同到期时不与劳动者续签劳动合同，是否续签需根据劳动者的医疗期及身体恢复状况具体决定。
分析说明：
医疗期内的保护：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得依据该法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这意味着，如果劳动者因心梗处于医疗期内，用人单位不能仅以合同到期为由终止劳动合同。
- 医疗期的时长根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》确定，与劳动者的实际工作年限和在本单位工作年限相关，最长可达二十四个月。
医疗期满后的处理：
- 如果医疗期满后，劳动者仍无法从事原工作或单位另行安排的工作，用人单位可以依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条的规定，提前三十日以书面形式通知劳动者或额外支付一个月工资后解除劳动合同。但在此情况下，用人单位需依法支付经济补偿金。
- 经济补偿金的支付标准根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条确定，即根据劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
合同续延的规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十五条的规定，劳动合同期满，有该法第四十二条规定情形之一的（如患病在医疗期内），劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。这意味着，在医疗期内，即使合同到期，也应续延至医疗期满。
行动建议：
- 对于劳动者：如果因心梗处于医疗期内，且合同即将到期，应主动与用人单位沟通，说明自身情况，并要求合同续延至医疗期满。如果医疗期满后仍无法从事原工作或单位另行安排的工作，应了解自身权益，包括经济补偿金的支付等。
- 对于用人单位：在处理因心梗等患病情况导致的合同到期问题时，应严格遵守相关法律法规，确保不损害劳动者的合法权益。同时，建议与劳动者进行充分沟通，了解其身体状况和意愿，以便做出合理的决策。
后续思考依据：
- 在处理此类问题时，关键在于确定劳动者是否处于医疗期内以及医疗期满后的身体恢复状况。这需要根据医疗证明和相关规定进行判断。
- 如果用人单位违反规定，在医疗期内终止劳动合同或未支付经济补偿金，劳动者可以依法向劳动争议调解仲裁机构或人民法院提起申诉或诉讼，维护自身权益。
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