结论：您所描述的情况中，公司未与您签订劳动合同是违法的，同时，关于5500底薪包加班费以及每天上班11个半小时的情况，也可能存在违法之处。以下是对这些问题的详细分析：
一、未签订劳动合同的问题
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条：“建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。”
法律后果：
- 如果公司未在您入职一个月内与您签订书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
- 因此，您有权要求公司支付从入职第二个月起至第七个月（共6个月）的双倍工资差额，即额外支付6个月的工资。
二、5500底薪包加班费的问题
加班费计算：
- 加班费是指劳动者在法定工作时间之外继续工作所应获得的报酬。根据《中华人民共和国劳动法》第四十四条：“有下列情形之一的，用人单位应当按照下列标准支付高于劳动者正常工作时间工资的工资报酬：
- （一）安排劳动者延长工作时间的，支付不低于工资的百分之一百五十的工资报酬；
- （二）休息日安排劳动者工作又不能安排补休的，支付不低于工资的百分之二百的工资报酬；
- （三）法定休假日安排劳动者工作的，支付不低于工资的百分之三百的工资报酬。”
- 如果5500元是包含加班费在内的总收入，且未明确区分正常工作时间工资和加班费，那么这种做法可能违反了加班费支付的规定。因为加班费应当根据实际加班情况单独计算，并额外支付。
合法性分析：
- 假设您每月正常工作时间为176小时（22天*8小时），那么您的正常工作时间工资应为5500元除以（176小时+加班小时数）再乘以176小时，而加班费则应单独计算。如果公司未按照此方式计算，而是将加班费包含在底薪中，且未按照法定标准支付，则构成违法。
三、每天上班11个半小时的问题
工作时间规定：
- 根据《中华人民共和国劳动法》第三十六条：“国家实行劳动者每日工作时间不超过八小时、平均每周工作时间不超过四十四小时的工时制度。”
- 同时，根据《中华人民共和国劳动法》第四十一条：“用人单位由于生产经营需要，经与工会和劳动者协商后可以延长工作时间，一般每日不得超过一小时；因特殊原因需要延长工作时间的，在保障劳动者身体健康的条件下延长工作时间每日不得超过三小时，但是每月不得超过三十六小时。”
合法性分析：
- 您每天上班11个半小时，明显超过了法定工作时间。即使考虑加班情况，也超出了每月最多36小时的加班限制。因此，公司安排您每天工作11个半小时是违法的。
建议
与公司协商：
- 首先，您可以尝试与公司协商，要求公司签订书面劳动合同，并按照法定标准支付加班费，同时调整工作时间以符合法律规定。
向劳动监察部门投诉：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉，要求劳动监察部门对公司进行调查并处理。
申请劳动仲裁：
- 如果劳动监察部门的处理结果不能满足您的需求，您还可以向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付双倍工资差额、加班费以及因违法安排工作时间而产生的其他赔偿。
最后，如果您在处理这些问题过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。