结论：正式员工没有提前一个月提离职，但公司通知了离职申请，这种情况是否合法需分情况讨论。一般来说，若公司规章制度合法且员工知晓，员工未提前一个月通知而公司依规处理，可视为合法；但若公司存在法定过错情形，员工有权随时解除劳动合同而无需提前通知。

详细分析：

1. 一般情况下的合法性分析：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十七条，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。这是法律对劳动者辞职设定的明确时间要求。
   • 如果公司规章制度中明确规定了员工离职需提前一个月申请，并且这一规定不违反法律法规的强制性规定，同时员工在入职时已知晓并同意了这一规定，那么员工未提前一个月通知而公司依据规章制度通知离职申请，可以视为合法。因为公司规章制度是劳动合同的一部分，对双方都具有约束力。

2. 公司存在法定过错情形时的例外：

   • 如果用人单位存在未按照劳动合同约定提供劳动保护或劳动条件、未及时足额支付劳动报酬等法定过错情形，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者有权随时解除劳动合同，而无需提前通知用人单位。
   • 在这种情况下，即使公司规章制度中规定了离职需提前一个月申请，但由于公司存在法定过错，这一规定对劳动者不再具有约束力。劳动者可以随时离职，公司无权以未提前通知为由追究劳动者的责任。

3. 实际操作中的建议：

   • 对于劳动者而言，在离职前最好还是按照公司规章制度和法律法规的要求提前通知用人单位，以维护良好的职业声誉和与公司的关系。
   • 如果公司存在法定过错情形，劳动者在离职时可以保留相关证据，以便在必要时维护自己的合法权益。
   • 对于公司而言，应确保规章制度的合法性，并在员工入职时明确告知相关离职规定，以避免不必要的法律纠纷。

总结：正式员工没有提前一个月提离职，但公司通知了离职申请，这种情况的合法性取决于公司规章制度是否合法、员工是否知晓并同意以及公司是否存在法定过错情形。在实际操作中，双方都应遵守法律法规和公司规章制度的规定，以维护良好的劳动关系。如果您在劳动纠纷方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。