结论：员工提前半年提出离职申请后，若这半年内不遵守公司纪律，公司是否可以开除员工，需根据具体情况判断，不能一概而论。

分析如下：

1. 员工离职申请的法律性质：

   • 员工提前半年提出离职申请，这通常被视为员工行使单方解除劳动合同的权利。根据《劳动合同法》的相关规定，员工在试用期内提前三日通知用人单位，可以解除劳动合同；在试用期外，提前三十日以书面形式通知用人单位，也可以解除劳动合同。但此处员工提出的是“半年”的离职申请，这并非法律规定的标准期限，可能是员工与用人单位之间的特别约定或员工出于个人考虑而提出的更长期限。不过，无论期限长短，员工提出离职申请后，其与用人单位的劳动关系仍然存在，直至离职申请期满或双方协商一致提前解除。

2. 员工不遵守公司纪律的法律后果：

   • 员工在离职申请期间，仍应遵守公司的规章制度和劳动纪律。如果员工不遵守公司纪律，公司有权根据规章制度对其进行处理，包括警告、罚款、降职、降薪等。但是否可以直接开除员工，需看公司规章制度的具体规定以及员工违纪的严重程度。
   • 如果公司规章制度中明确规定了员工严重违反纪律可以开除的情形，且员工的违纪行为符合这些情形，那么公司有权开除员工。但公司必须确保规章制度的制定程序合法、内容合法，并且已经向员工公示或告知。
   • 如果公司规章制度中没有相关规定，或者员工的违纪行为并不严重，那么公司直接开除员工可能构成违法解除劳动合同，需要承担相应的法律责任。

3. 特殊情况下的处理：

   • 如果员工在离职申请期间存在严重违纪行为，如盗窃、诈骗、故意伤害等违法行为，或者严重违反职业道德、损害公司利益的行为，公司可以立即解除劳动合同，无需等待离职申请期满。但公司必须确保有充分的证据证明员工的违纪行为。
   • 如果员工在离职申请期间因个人原因无法继续工作，如患病、受伤等，且这些原因并非由公司造成，那么公司应与员工协商解决离职事宜，而不是直接开除员工。

建议：

• 对于公司而言，在员工提出离职申请后，应加强与员工的沟通，了解其离职原因和离职计划，同时加强对其工作表现的监督和管理。如果发现员工存在违纪行为，应及时按照规章制度进行处理，并保留相关证据。
• 对于员工而言，在离职申请期间仍应遵守公司的规章制度和劳动纪律，保持良好的职业操守。如果因个人原因无法继续工作，应及时与公司沟通并协商解决离职事宜。

后续行动：如果您或您的公司遇到类似情况，建议先查阅公司规章制度中关于员工违纪处理的规定，并评估员工的违纪行为是否严重到可以开除的程度。如有需要，可以直接向我咨询具体的法律意见和处理方案。