您好，非常理解您遇到超市赠品过期的问题时的困扰。针对这个问题，我可以给您提供详细且深入的解答。
首先，不论是正常销售的商品还是为促销而赠送的赠品，商家都有责任确保商品的质量，包括商品的有效期限。这是根据《消费者权益保护法》中的明确规定，经营者应当保证在正常使用商品或者接受服务的情况下，其提供的商品或者服务应当具有的质量、性能、用途和有效期限。
如果您在超市购物时获得了过期的赠品，您的合法权益确实受到了损害。在这种情况下，您完全有权向商家提出赔偿要求。具体来说，您可以要求超市进行退货，并退还您购买相关商品的费用（如果赠品与购买商品直接相关且无法单独退货，则通常要求退还购买商品的全额或部分费用，视具体情况而定）。同时，根据《食品安全法》的相关规定，如果赠品属于食品且过期，您还可以要求超市给付一定金额的赔偿，这个金额通常是价款的十倍，如果增加赔偿的金额不足1000元的，则为1000元。
为了更有效地维护您的权益，我建议您采取以下步骤：
保留证据：请务必保留好购物单据、赠品以及任何能证明赠品过期的证据，如照片、视频等。
与商家沟通：首先尝试与超市进行沟通，说明您的情况并提出合理的赔偿要求。
寻求帮助：如果超市拒绝赔偿或未能给出满意的答复，您可以向当地的消费者协会、工商部门或相关监管机构投诉，寻求他们的帮助和支持。
法律途径：如果问题仍未得到解决，您还可以考虑通过法律途径来维护自己的权益，如向法院提起诉讼。
最后，我想提醒您，在购物时一定要多留意商品的生产日期和保质期，尤其是对于食品类的赠品。同时，保留好购物证据也是非常重要的，这样在出现问题时才能更有效地维护自己的权益。希望这些解答能对您有所帮助，如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。