结论：在房租合同到期后，租客与房东口头约定续租一个月，若租客反悔，房东能否追究租客的责任，主要取决于双方口头约定的具体内容以及反悔行为是否构成违约，一般情况下，若租客无正当理由反悔且未按照口头约定履行，房东有权要求租客承担违约责任。以下从不同角度进行分析：
一、口头约定的法律效力
口头约定具有法律效力：根据《民法典》的相关规定，民事法律行为可以采用书面形式、口头形式或者其他形式。因此，租客与房东之间的口头续租约定，只要双方意思表示真实，且不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，即具有法律效力。
口头约定的证明难度：然而，口头约定相较于书面合同，在证明其存在及内容方面存在较大难度。若房东希望追究租客的责任，需要提供充分的证据证明双方确实存在口头续租的约定，以及租客反悔的具体情况。
二、租客反悔的法律后果
若租客无正当理由反悔：若租客在口头约定续租一个月后，无正当理由反悔，且未按照约定支付租金或履行其他义务，则构成违约。房东有权要求租客承担违约责任，包括但不限于支付违约金、赔偿损失等。
若租客有正当理由反悔：若租客因不可抗力或其他正当理由反悔，且能够提供相应证据证明，则可能不构成违约或构成免责事由。在此情况下，房东可能无法追究租客的责任。
三、房东可采取的措施
与租客协商：在租客反悔后，房东可以首先尝试与租客进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。例如，可以协商缩短续租期限、调整租金等。
收集证据并提起诉讼：若协商无果，房东可以收集相关证据（如通话记录、短信、微信聊天记录等），证明双方存在口头续租的约定以及租客反悔的具体情况。然后，房东可以向人民法院提起诉讼，要求租客承担违约责任。
四、建议与风险提示
建议签订书面合同：为了避免类似纠纷的发生，建议房东与租客在续租时签订书面合同，明确双方的权利和义务。书面合同具有更强的证明力，且能够更全面地保护双方的合法权益。
注意保留证据：在口头约定续租时，房东应注意保留相关证据（如通话记录、短信、微信聊天记录等），以便在发生纠纷时能够证明双方确实存在口头约定以及租客反悔的具体情况。
谨慎处理纠纷：在处理此类纠纷时，房东应谨慎行事，避免采取过激行为或侵犯租客的合法权益。否则，可能面临法律责任或道德风险。
综上所述，若租客在口头约定续租一个月后无正当理由反悔且未按照约定履行义务，房东有权要求租客承担违约责任。然而，由于口头约定的证明难度较大，建议房东在续租时签订书面合同并保留相关证据。若遇到相关法律问题，可以直接向我咨询。