面对工程完工但未签订合同且甲方不肯付款的情况，您确实需要采取一系列措施来有效维护自身权益。以下是我为您详细梳理的解决步骤：

一、全面收集证据

证据是维权的基础，您需要尽可能全面地收集以下几类证据：

1. 证明工程关系存在的证据：

   • 保留所有与甲方关于工程的来往沟通记录，如微信聊天记录、电子邮件、短信等，这些记录中可能包含工程的详细范围、开工与完工时间、质量要求等关键信息。
   • 如果有关于工程的会议，务必保存好会议纪要，特别是上面有甲方或其授权代表签字的，这能证明双方就工程相关事项进行过讨论和约定。
   • 工程现场文件也是重要证据，如施工图纸、施工方案、工程变更通知等，它们反映了工程的具体情况和双方的工作安排。

2. 证明工程完成的证据：

   • 如果有甲方或其授权代表签字确认的工程验收单，这是工程完成并通过初步验收的直接证据，务必妥善保管。
   • 施工日志详细记录了每日施工情况，能证明您按照要求进行了施工，也是有力的证据之一。
   • 照片和视频资料可以直观展示工程施工过程和完工后的实际情况，同样具有证明力。

3. 证明费用的证据：

   • 报价单或预算书列明了各项工程费用的明细，是计算工程款的重要依据。
   • 采购发票和付款凭证证明了工程的实际成本支出，有助于确定工程款的具体金额。
   • 工资发放记录反映了工程的人力成本，也是计算总费用时需要考虑的因素。

二、与甲方友好协商

在收集到足够证据后，您可以首先尝试与甲方进行友好协商。明确表达您的诉求，即要求甲方支付工程款项，并询问对方未支付的具体原因。在协商过程中，保持冷静和理性，尝试共同商讨一个双方都能接受的解决方案。

三、发送正式函件

如果协商无果，您可以考虑向甲方发送正式的催款函或请律师代为发送律师函。催款函或律师函应详细说明工程情况、欠款金额、要求付款的时间以及可能的法律后果。这不仅能再次明确您的债权，还能以更正式的方式提醒甲方履行其付款义务。

四、寻求第三方调解或政府帮助

若甲方仍不支付，您可以寻求第三方调解机构的帮助，如行业协会、建设工程纠纷调解委员会等。这些机构通常具有丰富的专业知识和调解经验，能够公正、客观地进行调解。此外，您也可以考虑向当地建设行政主管部门或相关行业协会求助，他们可能会提供一些协助或指导。

五、提起诉讼或仲裁

当以上方式均无法解决问题时，您可以通过法律途径来维护自己的权益。具体来说，您可以向有管辖权的人民法院提起诉讼，要求甲方支付工程款及相应的利息和违约金（如有约定）。如果双方之前有达成仲裁协议，您也可以选择按照协议申请仲裁来解决纠纷。在提起诉讼或仲裁前，请务必确保已准备好充分的证据材料，并撰写好起诉状或仲裁申请书。

六、预防未来风险

为了避免类似问题的再次发生，我建议您在未来的工程中务必签订书面合同，并明确约定双方的权利和义务。合同是保障双方权益的重要法律文件，能够大大降低纠纷发生的可能性。

总之，面对这种情况，您应保持冷静并采取合适的行动来维护自己的合法权益。希望以上建议能对您有所帮助。