可以起诉供应商，但需根据具体情况判断责任归属及起诉对象。以下是详细分析：

1. 合同相对性原则下的直接责任
   若建厂单位与供应商直接签订材料采购合同，且合同中明确约定了质量标准、验收条款及违约责任（如《民法典》第615条规定的出卖人质量瑕疵担保责任），则材料出现质量问题时，建厂单位可直接以供应商为被告提起诉讼，要求其承担修理、更换、退货或赔偿损失等责任。此时需重点审查合同条款是否约定了质量保证期、检验期等关键节点。

2. 指定供应商情形下的责任划分
   若建厂单位仅是“指定”材料厂家，但实际采购合同由施工方（如承包商）与供应商签订，则需区分两种情况：

   • 建厂单位明确要求施工方必须使用指定厂家材料：此时可视为建厂单位对材料来源的干预，若材料质量问题导致工程损失，建厂单位可能需与供应商承担连带责任（需结合具体证据证明干预程度与损失因果关系）。
     
   • 建厂单位仅提供参考名单，施工方自主选择供应商：则责任主要由施工方与供应商承担，建厂单位通常不直接对材料质量负责，除非能证明其存在过错（如明知供应商资质瑕疵仍指定）。

3. 关键证据与诉讼策略
   无论何种情形，起诉供应商均需准备以下证据：

   • 材料质量问题的鉴定报告（如第三方检测机构出具的不合格证明）；
     
   • 采购合同、技术规格书等证明质量标准的文件；
     
   • 损失计算依据（如返工费用、工期延误赔偿等）；
     
   • 沟通记录（如邮件、会议纪要）证明已向供应商主张权利。
     若涉及多方合同关系，可能需将建厂单位、施工方、供应商列为共同被告或第三人，以彻底解决责任分担问题。

建议行动步骤：

1. 立即封存问题材料及同批次产品，避免证据灭失；
   
2. 委托专业机构对材料质量进行鉴定，明确瑕疵类型及成因；
   
3. 审查所有相关合同，确定各方权利义务关系；
   
4. 根据证据情况，选择直接起诉供应商或追加其他责任方。
   

如有进一步细节（如合同条款、损失金额等），可随时补充说明，我将为您制定更具体的诉讼方案。