业务员出差期间死亡，工伤认定既可以由用人单位申请，也可以由死亡员工的近亲属申请。具体分析如下：
用人单位申请：
- 根据《工伤保险条例》第十七条的规定，职工发生事故伤害或者按照职业病防治法规定被诊断、鉴定为职业病，所在单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。这意味着，在业务员出差期间死亡的情况下，用人单位有责任在法定期限内向相关部门提出工伤认定申请。
近亲属申请：
- 如果用人单位未在规定期限内提出工伤认定申请，根据同一法规条款，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。因此，在业务员出差期间死亡且用人单位未及时申请的情况下，其近亲属有权自行提出工伤认定申请。
申请工伤认定时需注意：
- 无论是用人单位还是近亲属申请，都需要准备相关的证明材料，如医疗证明、死亡证明、事故报告等，以证明业务员是在出差期间因工作原因导致死亡。
- 社会保险行政部门在收到工伤认定申请后，会进行调查核实，并根据调查结果作出工伤认定决定。
- 如果对工伤认定决定不服，可以依法申请行政复议或者提起行政诉讼。
建议：
- 对于用人单位来说，应及时了解并遵守相关法律法规，确保在业务员出差期间发生意外时能够及时、准确地提出工伤认定申请。
- 对于近亲属来说，如果用人单位未及时申请工伤认定，应主动了解自己的权利并尽快提出申请，以保障自身的合法权益。
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