您好，关于如何申请出差期间的死亡工伤认定，这是一个涉及工伤保险条例的重要问题，我会为您详细解答。

首先，根据《工伤保险条例》的相关规定，职工在因工外出期间，由于工作原因受到伤害或者发生事故下落不明的，应当认定为工伤。因此，如果职工在出差期间因工作原因不幸去世，其家属或用人单位是有权申请工伤认定的。

申请工伤认定的主体：

1. 用人单位：职工所在用人单位承担首要的工伤申报义务。他们应在事故伤害发生之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。

2. 工伤职工的近亲属或工会组织：如果用人单位未在规定时限内提出申请，工伤职工的近亲属（如配偶、父母、成年子女等）或工会组织可以在事故伤害发生之日起1年内，直接向社会保险行政部门提出工伤认定申请。

申请工伤认定需提交的材料：

1. 工伤认定申请表：这是申请工伤认定的基本表格，需要详细填写事故发生的时间、地点、原因以及职工伤害程度等基本情况。

2. 与用人单位存在劳动关系的证明材料：这可以是劳动、聘用合同文本复印件，或者其他能够证明职工与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的材料。

3. 医疗诊断证明或职业病诊断证明书：由于是出差期间死亡，这里应提供相关的死亡证明、尸检报告或医疗机构出具的能够证明死亡原因的诊断证明。

申请流程：

1. 准备材料：按照上述要求准备好所有必要的材料。

2. 提交申请：将材料提交给统筹地区的社会保险行政部门。如果用人单位未在规定时限内提出申请，工伤职工的近亲属或工会组织可以直接提交。

3. 审核与受理：社会保险行政部门会在收到申请后15日内对材料进行审核。如果材料完整且符合受理条件，他们会出具《工伤认定申请受理决定书》；如果材料不完整，他们会以书面形式一次性告知需要补正的全部材料。

4. 调查核实：社会保险行政部门在受理申请后，可能会根据需要对申请人提供的证据进行调查核实。这可能包括进入有关单位和事故现场、查阅相关资料、询问有关人员等。

5. 作出决定：社会保险行政部门应在受理工伤认定申请之日起60日内作出工伤认定决定，并出具《认定工伤决定书》或《不予认定工伤决定书》。对于事实清楚、权利义务明确的工伤认定申请，他们应在15日内作出决定。

6. 送达决定：社会保险行政部门应在作出工伤认定决定之日起20日内，将决定书送达工伤职工（或其近亲属）和用人单位，并抄送社会保险经办机构。

注意事项：

• 请确保在规定的时限内提交申请，以免因超过时限而无法认定为工伤。
• 提交的材料必须真实、完整，否则可能会影响工伤认定的结果。
• 如果对工伤认定决定不服，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼。

希望以上解答能够帮助您了解如何申请出差期间的死亡工伤认定。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。